(完整版)因式分解相关知识点整理【竞赛专用】

1.因式分解的思路：“一提、二代、三分组”2.常用公式：

[1]a 2− b 2 (a b)(a− b)[2](a b) 2 a 2 2ab b 2

[3]a 3 b3 (a b)(a 2∓ ab b 2 )[4](a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3

[5]若n为正奇数，则a n b n (a b)(a n−1− a n−2b a n−3b 2−− ab n−2 b n−1 )[6]若n为正整数，则a n− b n (a− b)(a n−1 a n−2b a n−3b 2 ab n−2 b n−1 )

应用公式时，按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施，值得注意。3.常用分组方法（注意：每组项数须平均分配）：（1）按不同字母分组

（2）b.按不同字母的幂分组（幂次相近的放在一起）

（3）按不同项的系数分组

注：当分组不当，无法继续分解原式时，就应回到分组前的状况4.拆项与添项

（1）若整式按某一字母的升幂或降幂排列，那么以拆开中项为宜。（2）可以配完全平方（配方法）5.十字相乘法（二次齐次式

ax 2 bxy cy 2 也可用此法分解，令 y 1代入原式即可）

++

×

axbxadxbcx

(ad bc) x

cdcd

例子：×

xx

3x

+++

2

36

+

abxabx2

++

x 2

2

++

2 x5x

+

+

cd

x 2

6

将以上竖式简化，就可以得到十字相乘法的竖式：

abab bc补充一个结论：

cd511

 2

 3

若二次三项式axbxc的系数和abc0，则axbxc(x−1)(ax−c)

2 2

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6.双十字相乘法（应用于形如

ax 2 bxy cy 2 dy ey f 的二元二次式 ，或者是形如

ax 2 bxy cy 2 dxz eyz fz 2 的三元齐次式.）

把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解，如果其中两组包含相同字母的分解式所得到的数字一样.且另外两个不同字母的结果符合某一项的系数的话，分解式的系数就为第一行的三个数和第二行的三个数，直接代入原式即可.7.换元法（略）8.余数定理（

x、y 的齐次式也可以采用同样的方法）

f ( x) an x n an−1x n−1 a1x a0

如果

f (c) 0 ，那么 ( x− c) 是 f ( x) 的因式，反过来，如果 ( x− c) 是 f ( x) 的因式，那么

f (c) 0 .（证明过程略）

注：有理根 cp

的分子 p 是常数项 a0 的因数，分母 q 是首项系数 an 的因数.q

f ( x) 的系数为 1. q 1，有理根都是整数根.

如果整系数多项式

补充三个重要结论：

（1）若多项式的系数和等于 0，那么 1 是它的根，即

( x−1) 是它的一次因式.

（2）若多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于 0，那么-1 是它的根，即 ( x 1)是它的一次因式.

（3）若多项式可以分解为几个有理数系数的积，则其一定能分解为几个整系数的多项式的积.

9.待定系数法

设待定系数，通过比较系数得出方程组，利用系数为整数的条件求解即可.10.轮换式与对称式

两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）.基本轮换式一次齐次轮换式： 二次齐次轮换式：

l( x y z)

l( x 2 y 2 z 2 ) m( xy yz zx)

3

3

3

2

2

2

2

2

2

三次齐次轮换式：l(xyz)m(xyyzzx)m(xyyzzx)kxyz这里， l、m、n、k 都是待定常数

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补充两个常用公式：（1）

a 3 b3 c 3− 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2− ab− bc− ca)

3

3

3

（2）abc−3abc

1(a b c)[(a− b) 2 (b− c) 2 (c− a) 2 )2

3

3

3

（3）当abc0时，abc3abc

11.实数集与复数集内的分解

（1）利用二次方程求根公式来分解二次三项式.

（2）代数基本定理：在复数集内，对于多项式f(x)anxan−1x是正整数），一定有复数 c 使得

n

n−1 a1x a0 （ n

f (c) 0 .

（3）实系数多项式的虚数根是两两共轭的.因而，在实数集内每个多项式都可以分解为一次因式与二次因式的积.

（4）1 的立方虚根−1− 3i3 2

2，并且1，1−，2−1（可将x代入

多项式，求得因式）

（5）单位根：一般地，在复数集内有 n 个 n 次单位根，它们是

2k2k2n2n(k 1,2,, n) ，其中 coscos i sin i sin 1

nnnn

2k2k称为本原单位根.如果 k 与 n 互质，则 cos i sinnn（6）分圆多项式：与 n 次本原单位根对应的一次因式的积的整系数的多项式.

分圆多项式在有理数集内不可约的.

12.既约多项式相关知识

（1）艾森斯坦（Eisenstein，1823~1852）判别法

设f(x)anxan−1x

n

n−1 a1x a0 是整系数多项式

如果存在一个质数 p 满足以下条件：1. p 不整除

an ；

a0 , a1,, an−1 ）；

2. p 整除其余的系数（ 3.p不整除a0.那么，

2

f ( x) 在有理数集内不可约.

（2）绝对不可约

有些多元多项式，即使在复数集内也不能分解，这样的多项式称为绝对不可约.

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