高等代数试题与答案

来源：意榕旅游网

高等代数试题与答案

一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)

1. 令Q＋是正有理数集，若规定	a		b		a		b	，则(	)．
						2

(A)是代数运算且满足结合律 (B)是代数运算，但不满足结合律

则(

(D) (A),(B),(C)都不对



1



...





，

2. 域F 有无穷多个元素，域F 上的多项式

(

)



)

(A) f(x)在域F 上至少有一个根(C) f(x)在域F 上没有根

(B)f(x)在域F上最多有n个根(D)f(x)在域F上恰有n个根

3. 虚数





是有理数域上的( )．

(A) 代数元 (B) 超越元 (C) 可逆元 (D) 既约元

4.若Dn 表示n 个数码的扰乱排列总数，则Dn＝(

)．

(A) Dn－1+Dn－2

(B) nDn－1 (C) (n－1)(Dn－1+Dn－2) (D) n (Dn－1+Dn－2)

5. 整系数多项式



1



...





的有理数根

，(p,q)=1，则(

1

(A) pan，qan (B) pa0，qa0 (C) pan，qa0 (D) pa0，qan二、填空题(每小题3 分，本题共15 分)

6. 自然数a 与b 的加法定义所满足的两个条件是		．
7. 函数f(x)是上凸函数的定义为	．

8. 整环R 中的元素p 是R 中的不可约元素，则p，p 不是可逆元，由p=a×b

9. 由5 个元素取7 个的可重复组合数是

．

10.整数环Z 上的多项式

(

)





1



...



a 1



为本原多项式，则

(an,an－1,…,a1,a0)＝

．

三、简述题(每小题7 分，共14 分)
11. 试给出一个从整数集Z 到自然数集N 的的单映射，但不是满映射．12. 试给出一个从整数集Z 到自然数集N 的的双射．

三、计算题(每小题10，本题共40 分)
13. 设x，y，z 是正实数，且xyz=10，求2x+3y+4z 的极小值．

14. 求(x+y+z)6展开合并同类项后共有多少项，并指出项x2y3z 的系数．

15. 求从1 到2 000 的自然数中能被5 或7 或11 整除的自然数个数．

16. 从n 个数码1,2,…,n 中取k(		n	)个数码，但不允许取两个连续数码(如1，2 不能连
		2

续取)，求共有多少种取法．

四、证明题(每小题10 分，本题共20 分)

17. 设	R		{	k		m ,	k		Z}，证明集合R 对于普通数的加法和乘法构成一个整环．
				2	m

18. 利用反归纳法证明：n 个正数的算术平均值大于等于这n 个正数的几何平均值，即

x 1



...





x 1

...

(



0 ,



模拟练习之二

一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
1.整环中元素c是不可约元素，则( )．

(A) c，c可逆元素

(B)c，c可逆元素，cabca或cb

2. 函数f(x)=n+1 是整数集合Z 到自然数集合N 的( )

(A) 单映射 (B) 满映射 (C) 双射 (D) 恒等映射

3. 是有理数域上的( )．

(A) 超越元 (B) 代数元 (C) 可逆元 (D) 不可约元

4. 设1，2，3 是区间[0，]上的三个数，则(

)

)．

(A)

sin(1



2



3

)



sin1



sin2



sin3

(B)

sin(1



2



3

)



sin1



sin2



sin3

(C)

sin

1



2



3



(sin1



sin2



sin3

)

(D)

sin

1



2



3



(sin1



sin2



sin3

5. 设d(x)是f(x)和f(x)的公因式，则(

)．

(A) d(x)是f(x)的二重因式(C) d(x)是f(x)的三重因式

(B)d(x)是f(x)单因式
(D)d(x)是f(x)k重因式

二、填空题(每小题3 分，本题共15 分)

	6. 自然数加法定义为					．
为	7.	若	d 是	a 和	b 的最大公因式，则	d 应满足的两个条件
	．
	8. 掷两颗骰子一共有多少种不同情况					．
	9. n 个数码1，2，…,n 的扰乱排列总数是					．
	10. 反归纳定理为					．

三、简述题(每小题7 分，共14 分)
11. 空集合的幂集是空集合码？应该是什么？

12. 在模12 的剩余类环Z12 中．哪些元素是可逆元素．

三、计算题(每小题10，本题共40 分)

13. 求





在剩余类环Z12 中的根．

14. 求(x+y+z＋t)10展开合并同类项后共有多少项，并指出项x5y2z3的系数．15. 上11 个台阶，如果每次只能走一阶或二阶，问有多少种不同走法．

16. 设	R		{	k		m ,	k		Z}，求出R 中所有可逆元素和不可约元素．
				2	m

四、证明题(每小题10 分，本题共20 分)
17. 证明在整环R 中任意两个元素都有最大公因式．且对R 中的三个元素a，b，c，若(a,b)～1，(a,c)～1，则(a,bc)～1．

18. 如果域F 含有无限个元素，求证F[x]上两个多项式f(x)和g(x)相等，从代数的观点和函数的观点是一致的．

模拟练习之一解答

一、单项选择题

1. B

2. B

3. A

4. C

5.C

二、填空题
6. a+1=a；a+b=(a+b) 7. q1+q2=1,q10，q20，f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2)

8. a 为可逆元或b 为可逆元 9. C 11 7 10. 1

三、简述题

11. 如

(

)









(nN)，(不惟一)





12. 如

(

)





(nN)，(不惟一)

2 n



2 n









四、计算题

13. 因为x，y，z>0，									所以					4	z		3	24	3	xyz		3	240		60	．
2 x3 y4 z 3 2 x3 y 3 所以2x+3y+4z 的极小值是6 3 30．
14. 共有	C	6					C	2		8		7		28		；x2y3z 系数为						6 !		
		6		3	1			8			2											3 ! 2 ! 1 !

15.设A＝{能被5整除的自然数}，B＝{能被7整除的自然数}C＝{能被11整除的自然数}．则





2000





400 ,





2000





285 ,





2000





181

，





，







2000





57 ,







2000






27 ,







2000













2000





．

所以，









＋









－





＝400＋285＋181－57－27－36＋5＝751

16. 用f(n,k)该数，f(n,k)=f(n－1,k)+f(n－×2,k－1)，f(n,k)=	C	k		k	1	．
		n	

参考原教材P152：定理5.1．
五、证明题

17.易知R对于数的加法和乘法封闭．







(



)

，在R 中有零元．









(



)

，即存在负元素．

＋，×满足结合律，且×对＋满足分配律．

存在



















(



)

，

总之，R是整环．

18.当n=2,4,8,…,2m时命题正确．

设命题对n=k 时正确，即



x 1



...



．

...

，

即

则

1



x 1



...



1



1

，

所

以



1

kk

x 1

...

1

因而

k

1

x 1

...

1

，所以命题对一切自然数成立．

模拟练习之二解答

一、单项选择题

1. C

2. B

3. A

4. C

5.D

二、填空题

6. a+1=a；a+b=(a+b)

1

7. da，db，a,b 的公因式d

8. 21 种

( 1







...



)

10. ①无限个自然数满足定理；②k 成立k－1 成立

2 !

3 !

n !

三、简述题
11.不是．应为P()={}．

12. 在Z12 中

1 ,

5 ,

7 ,

是可逆元素．

四、计算题



是方程的根．

13.

1 ,

5 ,



286

；x5y2z3系数为

10 !



520

．

14. 共有

C 10 10





C 3







1

5 ! 2 ! 3 !

15.对台阶作归纳．

当n=0时，f(0)=1；当n=1时，f(1)=1；当n=2时，f(2)=2=f(1)+f(0),当n=3时，f(3)=3=f(2)+f(1)；一般地，f(n)=f(f－1)＋f(n－2)．

f(4)=5；f(5)=8；f(6)=13；f(7)=21；f(8)=34；f(9)=55；f(10)=89；f(11)=144．走完11个台阶可以有144种不同走法．

16. R 中的可逆元素是		1		；R 中的不可约元素为	p		，p 为不等于2 的素数．
		2	m		2	m

五、证明题
17.由于(a,b)～1(ac，bc)～c．所以，有
1～(a，c)～(a，(ac，bc))～((a,，ac)，bc)
1～(a(1，c)，bc)～(a，bc)

18. 设

(

)





1



...



a 1



，

...



(

a 1



b 1

)



(



b 0

)

＝0，

(

)



b n



b n

1

.



b 1



b 0

1



(

)



(

)



(



b n

)



(

1



b n

1

)

从函数的观点，f(x)－g(x)有无数个根，但f(x)－g(x)最多有n个根，所以



b i



0 ( i



0 , 1 ,...,

)

所以，从代数上f(x)=g(x)，即ai=bi(i=0,1,2,…,n)．所以，它们一致.

因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容

查看全文