2.2.1对数与对数运算(一)

2.2.1对数与对数运算（一）

（一）教学目标

1．知识技能：

①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；2. 过程与方法：

③掌握对数式与指数式的关系 .

通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .3．情感、态度、价值观

（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（二）教学重点、难点

（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.

（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的（三）教学方法

启发式

启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.（四）教学过程

引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.

教学提出教学内容 1．提出问题师生互动 老师提出问题，x设计意图 由实际问题引入，激发学生的学习积极性. 环节 问题 （P72思考题）y131.01中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？学生思考回答.启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数， 1820301.01x,1.01x,1.01x,在个131313式子中，x分别等于多少？即：象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）. 概念合作探究：若1.01x=形成 18，则x称作是以1.0113合作探究义并板书. 让学生经历从“特殊一一般”，培养学生“合情推理”能力，有利于培养学生的创造能力． 18为底的的对数.你能否据此给出一个一般性的结13论？师：适时归纳总结，引出对数的定一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2举例：如：416,则2log416，读作2是以4为底，16的对数.

42，则数. 概念1211log42，读作是以4为底2的对221. 对数式与指数式的互化掌握指数式与对数式的互化、而且通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问深化 在对数的概念中，要注意：要明确对数运算是指数运算的逆运算. （1）底数的限制a＞0，且a≠1x（2）aNlogaNx指数式对数式幂底数←a→对数底数指 数←x→对数题. 幂 ←N→真数说明：对数式logaN可看作一记号，表示底为a（a＞0，且a≠1），幂为N的指数工表示方程axN（a＞0，且a≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a（a＞0，且a≠1）幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式logaN又可看幂运算的逆运算.2. 对数的性质：提问：因为a＞0，a≠1时， axNxlogaN 则 由１、a0=1 ２、a1=a 如何转化为对数式 ②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，a答） 由以上的问题得到 ① a1,aa （a＞0，且a≠1） ② ∵a＞0，且a≠1对任意的力，log10N常记为lgN. 恒等式：alogaN01logaN=？ （以上三题由学生先独立思考，再个别提问解=N 3. 两类对数 ① 以10为底的对数称为常用对数，log10N常记为lgN. ② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，logeN常记为lnN. 以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002. 应用 举例 例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625； 1－（2）26=； 641（3）（）m=5.73； 3

例1分析：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色. （生口答，师板书） 解：（1）log5625=4； 通过这二个例题的解答，巩固所学的指数式与对数式的互化，提 （4）log116=－4； 2（5）lg0.01=－2； （6）ln10=2.303. 例2：求下列各式中x的值 （1）log64x（2）log21=－6； 64（3）log15.73=m； 3高运算能力． 2 31－4）=16； 2－（5）102=0.01； （6）e2.303=10. 例2分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：（1） （4）（（2）logx86 （3）lg100x （4）lnex 课本P74练习第1，2，3，4题. 2(4) 23()14342 166（2）x8, 所以(x)(8) 16616x(64)23323(2)22 x2 （3）1010010, 于是x2 2 （4）由lnex, 得xlne2,即e-xe2 所以x2 练习（生完成，师组织学生进行课堂评价） 解答：1.（1）log28=3； （2）log232=5； 1（3）log2=－1； 2136121. 3－2.（1）32=9；（2）53=125；（3）21－21=；（4）34=. 8143.（1）设x=log525，则5x=25=52，所以x=2； －（2）设x=log21，则2x=1=24，1616所以x=－4； （3）设x=lg1000，则10x=1000=103，所以x=3； （4）设x=lg0.001，则10x=0.001=10－3，所以x=－3. 4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5. （4）log27=－13

归纳 1.对数的定义及其记法； 总结 2.对数式和指数式的关系； 3.自然对数和常用对数的概念. 课后 作业：2.2 第一课时 习案 作业 备选例题 例1 将下列指数式与对数式进行互化.1（1）(124)x64

（2）515 （3）

log1273

（4）logx646

3【分析】利用ax = Nx = logaN，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式.

【解析】（1）∵(14)x64，∴x =log164

4（2）∵5121，∴15log5512 （3）∵log3，∴(11273)327

3（4）∵log64 = –6，∴x－

x6 = 64.

【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义ab = Nb = logaN进行转换即可.

例2 求下列各式中的x.

先让学生回顾反思，然后师生共同巩固总结，完善． 本节学习成果，形成知识体系. 学生独立完成 巩固新知 提升能力 （1）log28x3； （2）log3x274；

（3）log2(log5x)0；

【解析】（1）由log28x3 得x823(23)23= 2–2，即x14 . 3（2）由log3x274，得x42733，

4∴x(33)33481.

（3）由log2 (log5x) = 0得log5x = 20 = 1. ∴x = 5.

【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.

（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log2(log5x) = 0及对数性质loga1=0.知log5x = 1，又log55 = 1. ∴x = 5