数列的最大项和最小项

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数列中的最大项,最小项

通过比较𝑎𝑛+1与𝑎𝑛的大小,得到数列 𝑎𝑛 的增减性,进而得到数列中的最大项,最小项;或者根据不等式组

𝑎𝑛+1≤𝑎𝑛𝑎𝑛−1≤𝑎𝑛

或 𝑎𝑛+1≥𝑎𝑛

𝑎𝑛−1≥𝑎𝑛

来确定数列的最大项或最小项.

例

已知数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛= 𝑛+1 ∙ 10 (𝑛∈𝑁+),试问:该数列{𝑎𝑛}中是否有最大项?若有,求最大项的项数;若没有,请说明理由.

9𝑛

解:

易知𝑎1不是数列{𝑎𝑛}中的最大项. 若𝑎𝑛为最大项,则应满足

9𝑛

𝑎𝑛+1≤𝑎𝑛𝑎𝑛−1≤𝑎𝑛

n≥2 # 1

已知𝑎𝑛= 𝑛+1 ∙ 10 (𝑛∈𝑁+)则有

9𝑛9𝑛+1

𝑎𝑛−𝑎𝑛+1= 𝑛+1 ∙ − 𝑛+2 ∙

1010𝑛99

= ∙ 𝑛+1 − 𝑛+2

10109𝑛𝑛−8= ∙ 1010令𝑎𝑛−𝑎𝑛+1≥0,得到 10 ∙

9𝑛

𝑛−810

≥0,解得𝑛≥8.

𝑎𝑛−𝑎𝑛−1

9𝑛9𝑛−1

= 𝑛+1 ∙ − 𝑛−1+1 ∙

1010𝑛−199= ∙ 𝑛+1 ∙−𝑛

10109𝑛−19−𝑛= ∙ 1010令𝑎𝑛−𝑎𝑛−1≥0,得到 10

9𝑛−1

∙

9−𝑛10

≥0,解得𝑛≤9.

∴ 满足不等式组(1)的项数𝑛的取值为8或9. ∵𝑎8=9× 10 ,𝑎9=10× 10 ,即𝑎8=𝑎9=108 ∴𝑎8,𝑎9两项都是数列 𝑎𝑛 中的最大项.

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