x+4+(x-12)+9的最小值
22亳州市谯城区双沟完全中学 郭纪伟 观察式子
2x+4+(x-12)+922,发现
x+42和
(x-12)+9中根号下的式子都是二次多项式,当
22x=0时,
x+4取得最小值,当x=12时(x-12)+9取得最小值,但是x取
什么数时,式子
x+4+(x-12)+9取得最小值呢?最小值是多
22少呢?显然,用初中代数方法求这两个二次根式的和的最小值是非常困难的.
联想到以前所学的知识, 我们不难发现平面上两点间的距离公式|AB|=
(x-x)+(y-y)221212等号右边的式子与
x+4和
2(x-12)+9很相似,能不能用平面直角坐标系的知识解决这个问
2题呢?通过分析探索,在平面直角坐标系中我设A点坐标为(0,2),B点坐
标
为
(12,3),P
点
坐
标
为
(x,0),
如
图
则有 PA=
(x-0)+(0-221)=
2x+4
2PB=(12-x)+(3-0)=
221(x-12)+9
2于是,本题转化为在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求出这个最小值的问题,作点A关于x轴对称的点A＇，则有
ＰＡ＝ＰＡ＇，PA+PB＝PA＇+PB，
根据两点之间线段最短的性质可得，线段Ａ＇Ｂ的长就是PA＇+PB的最小值，最小值为
Ａ＇Ｂ＝(12-0)+[3-(-2)]＝144+25＝169＝１３.
221所以代数式
x+4+(x-12)+9的最小值使１３.
22
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