贝叶斯统计第二版第一章答案

第一章 先验分布与后验分布

1.1 解：令10.1,20.2

设A为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则

P(A1)C820.120.960.1488

P(A2)C820.220.860.2936

从而有

P(A1)(1)(1A)0.4582P(A1)(1)P(A2)(2)

(2A)P(A2)(2)0.5418P(A1)(1)P(A2)(2)

1.2 解：令11,21.5

P()

设X为一卷磁带上的缺陷数，则XP(X3)3e3!

P(X3)P(X31)(1)P(X32)(2)0.0998

从而有

(1X3)(2X3)P(X31)(1)P(X3)P(X3)0.24570.7543P(X32)(2)

1.3 解：设A为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则

33P(A)C8(1)5

（1） 由题意知 ()1,01

(A)P(A)()从而有

P(A)()d015043(1)5,01

(A)P(A)()（2）

P(A)()d01470403(1)6,01

1.5 解：由已知可得

1,102010 1d0.0111.510

11.6P(x)1,0.5x0.5

()m(x)从而有

(x)P(x)()10,11.511.6m(x)

1.6 证明：设随机变量XP(x)P()，的先验分布为Ga(,)，其中,为已知，则

xex!,0

1()e,0()

因此

(x)P(x)•()xe1ex1e(1)

所以

xGa(x,1)

1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01

因此

2xm(x)1x2•1d2(1x)

因此

(x)P(x)()x1,x1m(x)1x2

（2） 由题意可知

m(x)12x02•32d6x

P(x)()(x)1,01m(x)因此

1.8 解：设A为100个产品中3个不合格，则

3P(A)C1003(1)97

由题意可知

()(202)(1)199,01(200)

因此

(A)P(A)•()3(1)97(1)1994(1)296

由上可知

ABe(5,297)

1.9 解：设X为某集团中人的高度，则XN(,52)

XN(,52)10

(176.53)25p(x)1e5

2(172.72)1()e5.085.08由题意可知

又由于X是的充分统计量，从而有

(x)(x)p(x)•()

e(176.53)25•e(172.72)25.08e(174.64)221.26

因此

xN(174.64,1.26)

1.10 证明：设N(u,2),其中u,2为已知

又由于X是的充分统计量，从而有

(x)(x)p(x)•()

12125125xu(251 e25xu251(x)212252)e(u)222e22

xN(2,因此

125121251)2

又由于

2125

1所以 的后验标准差一定小于5

1.11 解：设X为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则XU(0,)

1p(x),0x

1当8时，

1921p(x)3

m(x)84d318192

从而有

(x)p(x)()3m(x)1287

1.12 证明：由题意可知

p(x)1n,0xi,i1,2,...,n

从而有

(x)(x)p(x)•()

00nn•1n1

1因此 的后验分布仍是Pareto分布。

1.13 解：由题意可知

133162145

1.15 解：

（1）设的先验分布为Ga(,)，其中,为已知

由题意可知

p(x)p(xi)eni1nxii1n,xi0,i1,2,...,n

从而有

(x)p(x)•()

nn eni1xi•1en1(exi)i1

因此

xGa(n,xi)i1n

所以 Ga(,)是参数的共轭先验分布

（3） 由题意可知

0.00020.000420.00012 1)22，则

1.16 解：设

XN(1,2)N(1,p(x1,2)12e2(x1)2

p(x1,2)2en22(xi1)2i1n

1)22 2由题意可知

12N(0,Ga(,)

1121,21222e()从而有

2(1)

nnn12(n1)1221xixi21i1i12因此

1,2xp(x1,2)1,22e

1.19 证明：设的先验分布为，XP()，则

P(x)xex!,0

p(x)p(xi)i1nxii1nenix!i1n

xii1n从而有

xp(x)•en•

令

Txii1n，则