高中数学复数多选题专项训练练习题含答案

一、复数多选题

1．已知复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2),则（ ） A．z=-1+2i

B．|z|=5

C．z12i

D．zz5

答案：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量， 所以，，|z|=，， 故选：AD

解析：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)，得到复数z12i，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)， 所以z12i，z12i，|z|=5，zz5， 故选：AD

2．下面四个命题，其中错误的命题是（ ） A．0比i大 复数

C．xyi1i的充要条件为xy1

D．任何纯虚数的平方都是负实数 B．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭

答案：ABC 【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，

解析：ABC 【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，A选项错误；

对于B选项，1i2i3，但1i与2i不互为共轭复数，B选项错误；

对于C选项，由于xyi1i，且x、y不一定是实数，若取xi，yi，则

xyi1i，

C选项错误；

对于D选项，任取纯虚数aia0,aR，则aia20，D选项正确.

2故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.

3．已知复数z满足z(2i)i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则（ ）

3 5C．复数z的实部为1

A．|z|B．z12i 5D．复数z对应复平面上的点在第二象限

答案：BD 【分析】

因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断. 【详解】 因为复数满足， 所以

所以，故A错误； ，故B正确；

复数的实部为 ，故C错误； 复数对应复平面上的点在第二象限

解析：BD 【分析】

因为复数z满足z(2i)i，利用复数的除法运算化简为z【详解】

因为复数z满足z(2i)i， 所以z12i，再逐项验证判断. 55ii(2i)12i 2i2i(2i)5522512所以z，故A错误；

55512i，故B正确； 551复数z的实部为 ，故C错误；

5 z复数z对应复平面上的点,故选：BD 【点睛】

12在第二象限，故D正确. 55本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.

4．已知复数z的共轭复数为z，且zi1i，则下列结论正确的是（ ） A．z15 B．z虚部为i

C．z202021010

D．z2zz

答案：ACD 【分析】

先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假． 【详解】

由可得，，所以，虚部为； 因为，所以，． 故选：ACD． 【

解析：ACD 【分析】

先利用题目条件可求得z，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假． 【详解】

由zi1i可得，z1i21i，所以z12i2215，z虚部为i1；

因为z2i,z2，所以z2020z4故选：ACD． 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．

135．已知复数zi（其中i为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）

2224250521010，z2z2i1i1iz．

A．z20

B．z2z C．z31

D．z1

答案：BCD 【分析】

利用复数的运算法则直接求解．

【详解】

解：复数（其中为虚数单位）， ，故错误； ，故正确； ，故正确； ．故正确． 故选：． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则

解析：BCD 【分析】

利用复数的运算法则直接求解． 【详解】 解：z213复数zi（其中i为虚数单位），

2213313ii，故A错误； 42422z2z，故B正确；

131313z3(i)(i)1，故C正确；

222244|z|131．故D正确． 44故选：BCD． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

6．任何一个复数zabi（其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成：

zrcosisin的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

nznrcosisinrcosnisinnnN，我们称这个结论为棣莫弗定n理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A．zz B．当r1，C．当r1，223时，z31 时，z313i 22D．当r1，4时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数

答案：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，，则，可得

解析：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数z，可判断C选项的正误；计算出z4，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，zrcosisin，则zr22cos2isin2，可得

2z2r2cos2isin2r2，zrcosisinr2，A选项正确；

2对于B选项，当r1，33时，

z3cosisincos3isin3cosisin1，B选项错误；

对于C选项，当r1，项正确；

对于D选项，zcosisincosnisinncosnn3时，zcos3isin31313i，C选i，则z2222nnisin， 44取n4，则n为偶数，则z4cosisin1不是纯虚数，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】

本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

7．已知复数z12i,z22i则（ ） A．z2是纯虚数 C．z1z23

B．z1z2对应的点位于第二象限 D．z1z225 答案：AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则

运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确； 对于B选项，对应的

解析：AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算z1z2及z1z2，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，z1z223i对应的点位于第四象限，故B错； 对于C选项，z1z22i，则z1z222125，故C错；

224225，故D正确.

对于D选项，z1z22i2i24i，则z1z2故选：AD 【点睛】

本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单. 8．以下命题正确的是（ ）

A．a0是zabi为纯虚数的必要不充分条件 B．满足x210的x有且仅有i

C．“在区间a,b内fx0”是“fx在区间a,b内单调递增”的充分不必要条件

71D．已知fxxxx，则fxx8

8答案：AC 【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式

解析：AC 【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程x210可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A选项，若复数zabi为纯虚数，则a0且b≠0， 所以，a0是zabi为纯虚数的必要不充分条件，A选项正确；

对于B选项，解方程x210得xi，B选项错误；

对于C选项，当xa,b时，若fx0，则函数fx在区间a,b内单调递增， 即“在区间a,b内fx0”“fx在区间a,b内单调递增”. 反之，取fxx，fx3x，当x1,1时，fx0，

32此时，函数yfx在区间1,1上单调递增，

即“在区间a,b内fx0”“fx在区间a,b内单调递增”.

所以，“在区间a,b内fx0”是“fx在区间a,b内单调递增”的充分不必要条件. C选项正确； 对于D选项，fx故选：AC. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

9．已知复数za3i在复平面内对应的点位于第二象限，且z2 则下列结论正确的是（ ）． A．z38

C．z的共轭复数为13i

B．z的虚部为3 D．z24

xxxx111248718x，fx8x，D选项错误.

78答案：AB 【分析】

利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解. 【详解】 解：，且，

复数在复平面内对应的点位于第二象限 选项A:

选项B: 的虚部是 选项C:

解析：AB 【分析】

利用复数z2的模长运算及za3i在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解. 【详解】

解：

za3i，且z2a2(3)24，a=1

复数za3i在复平面内对应的点位于第二象限a1 选项A: (13i)3(1)3+3(1)23i+3(1)(3i)2(3i)38 选项B: z13i的虚部是3

选项C: z13i的共轭复数为z13i

选项D: (13i)2(1)2+2(1)3i+(3i)2223i 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:

复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+bi(a，bR)的形式，再根据题意求解． 10．若复数z2，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 1iB．|z|A．z的虚部为1 C．z2为纯虚数

2 D．z的共轭复数为1i

答案：ABC 【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为，

对于A：的虚部为，正确； 对于B：模长，正确； 对于C：因为，故为纯虚数，

解析：ABC 【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简z后得：z1i，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为z21i222i1i， 1i1i1i2对于A：z的虚部为1，正确； 对于B：模长

z2，正确；

对于C：因为z2(1i)22i，故z2为纯虚数，正确； 对于D：z的共轭复数为1i，错误. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 11．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A．复数zabia,bR是实数的充要条件是b0 B．复数zabia,bR是纯虚数的充要条件是b≠0 C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数

D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

答案：AC 【分析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】

解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确； 对于：若复数是纯虚数则且，故错误； 对于：若，互为共轭复数

解析：AC 【分析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】

解：对于A：复数zabia,bR是实数的充要条件是b0，显然成立，故A正确；

对于B：若复数zabia,bR是纯虚数则a0且b≠0，故B错误；

对于C：若z1，z2互为共轭复数，设z1abia,bR，则z2abia,bR，所以z1z2abiabiabiab是实数，故C正确；

22222对于D：若z1，z2互为共轭复数，设z1abia,bR，则z2abia,bR，所对应的坐标分别为a,b，a,b，这两点关于x轴对称，故D错误； 故选：AC 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．

12．已知复数z13i(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，若复数w论正确的有（ ）

A．w在复平面内对应的点位于第二象限 C．w的实部为B．w1 D．w的虚部为z，则下列结z1 23i 2答案：ABC 【分析】

对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】 对选项由题得 .

所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确

解析：ABC 【分析】

对选项A,求出w=13i，再判断得解；对选项B，求出w1再判断得解；对选项2213,判断得解. ，判断得解；对选项D,w的虚部为22C,复数w的实部为【详解】

对选项A,由题得z13i,

13i(13i)2223i13w=i.

42213i(13i)(13i)所以复数w对应的点为(对选项B，因为w13,)，在第二象限，所以选项A正确； 22131，所以选项B正确； 441，所以选项C正确； 2对选项C,复数w的实部为对选项D,w的虚部为故选：ABC 【点睛】

3,所以选项D错误. 2本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

13．若复数z满足z1iA．z1i C．z1i

3i，则（ ）

B．z的实部为1 D．z22i

答案：BC 【分析】

先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可 【详解】 解：由，得，

所以z的实部为1，，， 故选：BC 【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭

解析：BC 【分析】

先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可 【详解】 解：由z1i3i，得z312(1i)2(1i)1i， 1i(1i)(1i)2所以z的实部为1，z1i，z22i， 故选：BC 【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题 14．下列说法正确的是（ ） A．若z2，则zz4

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等

D．“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件

2答案：AD 【分析】

由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若，则，故A正确； 设，

由，可得

则，而不一定为0，故B错误； 当时

解析：AD 【分析】

由z求得zz判断A；设出z1，z2，证明在满足z1z2z1z2时，不一定有z1z20判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若z2，则zzz4，故A正确；

设z1a1bi1a1,b1R，z2a2b2ia2,b2R 由z1z2z1z2，可得

2z1z2a1a2b1b2z1z2a1a2b1b2

则a1a2b1b20，而

222222z1z2a1bi1a2b2ia1a2bb12a1b2ib1a2i2a1a2a1b2ib1a2i不一定为0，故

B错误；

当z1i时z22i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误； 若复数za1a1iaR是虚数，则a210，即a1

2所以“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件，故D正确；

2故选：AD 【点睛】

本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 15．已知复数z1cos2isin2（其中i为虚数单位），则（ ）

22B．z可能为实数

A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 C．z2cos

D．

11的实部为 z2答案：BC 【分析】

由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项. 【详解】

因为，所以，所以，所以，所以A选

解析：BC 【分析】

由22可得2，得01cos22，可判断A选项，当虚部

sin20，,时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判22断C选项，由复数的运算得判断D选项. 【详解】 因为11cos2isin211cos21，可，的实部是

zz12cos222cos2222，所以2，所以1cos21，所以01cos22，

所以A选项错误； 当sin20，,时，复数z是实数，故B选项正确； 222z1cos2sin2222cos22cos，故C选项正确：

111cos2isin21cos2isin2z1cos2isin21cos2isin21cos2isin212cos2，

1cos211，故D不正确. 的实部是

z22cos22故选：BC 【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

16．下面是关于复数zA．|z|2的四个命题，其中真命题是（ ） 1iC．z的共轭复数为1i D．z的虚部为1

2 B．z22i

答案：ABCD 【分析】

先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】 ，

，故A正确；，故B正确；的共轭复数为，故C正确；的虚部为，故D正确； 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查复数的除法

解析：ABCD 【分析】

先根据复数的除法运算计算出z，再依次判断各选项.

【详解】

zz21i21i， 1i1i1i112，故A正确；z21i2i，故B正确；z的共轭复数

222为1i，故C正确；z的虚部为1，故D正确； 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题. 17．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ） A．0

B．2

C．2i

D．2i

2答案：ACD 【分析】

令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值. 【详解】 令代入，得：， ∴，解得或或 ∴或或． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

解析：ACD 【分析】

令zabi代入已知等式，列方程组求解即可知z的可能值. 【详解】

令zabi代入z2|z|0，得：a2b22a2b22abi0，

2a0,a0,a0,a2b22a2b20∴，解得或或

b0b2b2,2ab0∴z0或z2i或z2i． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题. 18．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ）. A．0

B．2

C．2i

D．2i+1

2答案：AC 【分析】

令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．

【详解】 令，代入， 得，

解得，或，或， 所以，或，或. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．

解析：AC 【分析】

令zabia,bR，代入原式，解出a,b的值，结合选项得出答案． 【详解】

令zabia,bR，代入z2z0，

2得a2b22a2b22abi0，

a0a0a0解得，或，或，

b0b2b2所以z0，或z2i，或z2i. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 19．已知复数zcosisin（ ）

A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z可能为实数 C．z1 D．

（其中i为虚数单位）下列说法正确的是

221的虚部为sin z答案：BC 【分析】

分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误. 【详解】

对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点

解析：BC 【分析】

分0、0、0三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模221，利用复数的概念可判断D选项的正误. z长公式可判断C选项的正误；化简复数【详解】 对于AB选项，当四象限；

当0时，z1R； 当00时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第22时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第一象限.

A选项错误，B选项正确；

对于C选项，zcos2sin21，C选项正确；

11cosisincosisin， 对于D选项，

zcosisincosisincosisin所以，复数故选：BC.

20．若复数z满足(1i)z3i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为z，则（ ） A．|z|5 C．z的虚部是1

B．z的实部是2

D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

1的虚部为sin，D选项错误. z答案：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断. 【详解】 ， ，

，故选项正确，

的实部是，故选项正确， 的虚部是，故选项错误， 复

解析：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z，根据共轭复数概念得到z，即可判断.

【详解】

(1i)z3i，

z3i3i1i42i2i， 1i1i1i2z2215，故选项A正确，

z的实部是2，故选项B正确， z的虚部是1，故选项C错误，

复数z2i在复平面内对应的点为2,1，在第一象限，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.

1321．已知复数i（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的

22是（ ） A．2

B．31

C．210

D．

答案：AC 【分析】

根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】 解：∵所以， ∴，故A正确， ，故B错误， ，故C正确，

虚数不能比较大小，故D错误， 故选：AC. 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念

解析：AC 【分析】

根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】

1313解：∵i所以i，

2222∴213313ii，故A正确， 424223221121231313ii1，故B错误， 22244313ii10，故C正确， 222虚数不能比较大小，故D错误， 故选：AC. 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．

22．已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A．复数z34i的模z5

B．若复数z34i，则z（即复数z的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限 C．若复数m3m4m2m24i是纯虚数，则m1或m4 D．对任意的复数z，都有z2220

答案：AB 【分析】

求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误． 【详解】

解：对于，复数的模，故正确；

对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四

解析：AB 【分析】

求解复数的模判断A；由共轭复数的概念判断B；由实部为0且虚部不为0求得m值判断

C；举例说明D错误． 【详解】

解：对于A，复数z34i的模|z|32425，故A正确；

对于B，若复数z34i，则z34i，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)，在第四象限，故B正确；

对于C，若复数(m23m4)(m22m24)i是纯虚数，

m23m40则2，解得m1，故C错误；

m2m240对于D，当z故选：AB． 【点睛】

i时，z210，故D错误．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．