教师资格证笔试教师资格证笔试要点资格证笔试要点 要点 (初中数学) 考点一：函数的性质 这一知识点考察的难度不大，但是函数是数学学科的基础知识，建议考生打好基础。比如2013年下半年考了1道选择题，考察函数的奇偶性。也会出现在论述题目中请描述函数单调性的定义及说明判断方法。 1.函数的单调性 对于复合函数y=fg(x)，令u=g(x)，f(x)与g(x)同增函数或减函数时，复合函数为增函数，若一个为增函数，一个为减函数时，复合函数为减函数，即“同增异减”。 2.函数奇偶性 若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0。 3.周期性 周期性：设f(x)在X上有定义，如果存在常数T≠0，使得任意x∈X，x+T∈X，都有f(x+T)=f(x)，周期函数，称则称f(x)是周期函数T为f(x)的周期。 周期函数由此可见，周期函数有无穷多个周期周期函数有无穷多个周期，最小正周期。 周期函数有无穷多个周期如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函f(x)的最小正周期4.有界性 有界性：设函数y=f(x)在X内有定义，若存在正数M，使x∈X都有f(x)≤M，则称f(x)在X上是有界的。 5.特殊函数 分数指数幂的概念 （1）正数的正分数指数幂的意义是：an（2）正数的负分数指数幂的意义是：a有意义。 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。 分数指数幂的运算性质： − mnm=nam(a>0,m,n∈N+,且n>1)．0的正分数指数幂等于0。 1m1=()n=n()m(a>0,m,n∈N+,且n>1)。0的负分数指数幂没aa （1）ar⋅as=ar+s(a>0,r,s∈R) （2）(ar)s=ars(a>0,r,s∈R) （3）(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R) 对数的定义： （1）若ax=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做底数，N叫做真数。 （2）负数和零没有对数。 （3）对数式与指数式的互化：x=logaN⇔a=N(a>0,a≠1,N>0)。 几个重要的对数恒等式 xloga1=0,logaa=1,logaab=b 对数的运算性质： 如果a>0,a≠1,M>0,N>0，那么 ①加法：logaM+logaN=loga(MN) ②减法：logaM−logaN=logaM Nn③数乘：nlogaM=logaM(n∈R) ④alogaN=N n⑤logabM=nlogaM(b≠0,n∈R) blogbN(b>0,b≠1) logba⑥换底公式：logaN=负数和零没有对数。 对数式与指数式的互化：x=logaN⇔a例题1.若函数f(x)=x2+x=N(a>0,a≠1,N>0)。 a(a∈R)，则下列结论正确的是（ ） xA．∀a∈R，f(x)在(0,+∞)上是增函数 B．∀a∈R，f(x)在(0,+∞)上是减函数 C．∃a∈R，f(x)是偶函数 D．∃a∈R，f(x)是奇函数 参考答案：C 考点二：导数及微分中值定理 对于这一知识点，一般考导数的应用，要求求出导函数，并根据导函数的符号判断函数在某个区间上的单调性，进而求极值和最值。比如2013年下半年考了1道选择题，根据导函数的图像，来判断某点是不是极值点;2014年下半年的第1道选择题考察的内容是根据导函数的符号判断单调性。 如果函数y=f(x)在点x0处导数f′(x0)存在，则在几何上f′(x0)表示曲线y=f(x)在点x0,f(x0)处的切线的斜率。 切线方程：()y−f(x0)=f′(x0)(x−x0) 单调性：设函数f(x)在(a,b)内可导，如果恒有f′(x)>0(<0)，则f(x)在(a,b)内单调增加（单调减少）；如单调性：果恒有f′(x)≥0(≤0)，则f(x)在(a,b)内单调不减（单调不增） 极值点：设函数f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的某一点，则如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的极值点：任一点x(x≠x0)，总有f(x)
f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的一个极小值，称x0为函数f(x)的一个极小值点。极小值点。 极小值点。高次函数的零点个数综合应用了函数的单调性和极值。 罗尔中值定理： 罗尔中值定理： 设函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；f(a)=f(b).则存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0 拉格朗日中值定理： 设函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导。则存在ξ∈(a,b)，使得f(b)−f(a)=f′(ξ) b−a 例题1：与直线x＋3y＋1＝0垂直且与曲线y＝x4－x相切的直线的方程为( ) A．x－3y－3＝0 C．3x－y－1＝0 B．3x－y－3＝0 D．x－3y－1＝0 答案：C 考点三：概率与统计 考察的是高中的知识，题目难度较小，但是考察的频率非常高。比如2013年下半年考察了1道解答题，考察在区间上均匀分布的两个独立事件的概率;2014年下半年考察了1道解答题，在放回的条件下，分别求两次摸出的球颜色相同和颜色不同的概率;2015年下半年考察了1道选择题和1道解答题，分别考察的是样本容量对平均数的影响以及求简单随机事件的概率。 古典概型及随机数的产生 古典概型及随机数的产生 古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 P(A)=A包含的基本事件数/总的基本事件个数 几何概型 几何概型 P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 条件概率条件概率 概率 对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。记作PBA，读作A发生的条件下B的概率。 ()P(BA)=P(AB),P(A)>0 P(A) 独立事件 独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。P(A⋅B)=P(A)⋅P(B) 正态分布： 若概率密度曲线就是或近似地是函数 f(x)=1e2πσ−(x−µ)22σ2,x∈(−∞,+∞) 的图象，其中解析式中的实数µ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差．则其分布叫正态分布正态分布。正态分布。记作：N(µ,σ)，f(x)的图象称为正态曲线。 基本性质： ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。②曲线关于直线x=µ对称，且在x=µ时位于最高点。③当时x<µ，曲线上升；当时x>µ，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。④当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值µ来决定。⑤正态曲线下的总面积等于1。 例题1：考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ）。 A．1 B．11 C． D．0 23参考答案：A 考点四：数列 特殊数列考的比较多，比如求满足一定条件的数列的通项公式以及前n项和。要掌握恰当的方法，如错位相减、裂项相消等。 （一）求数列{an}的通项 的通项 1.公式法：当已知Sn=f(n)时，直接运用公式an=n=1S1Sn−Sn−1n≥2求解。 2.累加法：当已知an+1=an+f(n)时，运用累加法。 3.累乘法：当已知an+1=f(n)时，运用累乘法。 an4.待定系数构造法：当已知an+1=pan+f(n)（p为常数）时，运用构造法。构造成等差数列或者等比数列来求解。 5.倒数法：当已知an+1=Aan时运用倒数法。 Ban+C（二）求数列前n项的和 项的和 1.公式法：主要用于等差或者等比数列，直接套用公式。 2.错位相消法：用于求{anbn}型的数列，其中{an}为等差数列，只需用Sn−qSn{bn}是公比为q的等比数列，便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况。 3.分组化归法：主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和。 4.裂相消项法：此方法主要针对111这样的求和，其中{an}是等差数列。 ++...+a1a2a2a3an−1an例题1.等比数列{an}的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4=（ ） A．7 B．8 C．15 C．16 【参考答案】C 考点五：圆锥曲线及曲面方程 圆锥曲线包括椭圆、双曲线以及抛物线，希望广大考试要学会类比，掌握其标准方程，离心率以及准线等概念。这一块考解答题的时候，计算量往往会比较大，需要联立方程，并结合韦达定理去计算。曲面方程是将二维平面拓展到三维的空间，在空间中求曲面的方程。如2014年和2015年下半年都考了1道解答题，考察的是在一定条件下，求曲面方程。广大考生要掌握求曲面方程的基本方法，如代入法和参数法。 椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离之和和等于常数2a（2a>F1F2=2c）的点的轨迹称为椭圆。 椭圆：x=acosϕ,x2y2标准方程：焦点在x轴上，2+2=1(a>b>0)，参数方程：（ϕ为参数） y=bsinϕ,ab双曲线:平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值差的绝对值等于常数的点的轨迹称为双曲线。 2a（0<2a0,b>0) ab抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线。 抛物线标准方程：焦点在x轴正半轴，y=2px(p>0) 2二次曲面类型： x2y2（1）椭圆锥面2+2=z2 abx2y2z2（2）椭球面2+2+2=1 abcx2+y2z2（3）旋转单叶双曲面 −2=1a2c x2y2+z2（4）旋转双叶双曲面 2−=1 ac2x2+y2（5）椭圆抛物面 =z a2x2y2（6）双面抛物面 2−2=z 又称马鞍面 abx2y2x2y2（7）2+2=1,2−2=1,x2=ay依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面. abab旋转曲面： 设母线Γ在yOz平面上，它的平面直角坐标方程为 F(y, z)=0 Γ绕z轴旋转所成的旋转曲面Σ的方程为 F(±x2+y2, z)=0 y2z2x2+y2z2+2=1。该曲面称为旋如在yOz平面内的椭圆2+2=1绕z轴旋转所得到的旋转曲面的方程为bcb2c转椭球面。 例题1：方程x−y−z=1表示的二次曲面是（ ） A.椭球面 B.旋转双曲面 C.旋转抛物面 D.圆柱面 222 答案：B 2z2y+=1例题2：将椭圆Γ:绕z轴旋转一周，所得旋转曲面的方程为（ ） 4x=0z2z222A．x+y+=1 B. x−y+=1 4422x2z2y2z222C．+y+=1 D. x++=1 4444答案：A 考点六：函数极限与函数连续(一致连续) 常考的知识点有级数的收敛性和函数列的一致收敛性。2014年下半年考了1道选择题，考察的是函数列收敛于函数的充要条件;2015年下半年考了一道选择题，考察的是幂级数的收敛区间。对于正项级数的收敛性，要掌握的方法有比式判别法、根式判别法、积分判别法和拉贝判别法。 1、常用求极限的方法 常用求极限的方法 1）两个重要极限公式 limsinx=1 x→0x11lim(1+)x=e；或 lim(1+x)x=e x→0x→∞x1方法：遇到1形式的极限，通常都需要将其化为(1+α)α的形式；或者利用对数恒等式，再利用洛必达法则；方法：∞也可以先取对数，再利用洛必达法则〔真数部分大于0〕。 2）代入法 3）约公因式法 4）最高次幂法 当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以通过这种方法。主要是比较分子与分母次数的高低： a0b0mm−1a0x+a1x+L+am=0limx→∞bxn+bxn−1+L+bn01∞m=nmn 例题1：极限lim(x→∞x−1x)=(x+1C.e−2) D.e2 A.1B.∞【参考答案】C 考点七：积分(求积分，积分的应用求积分，积分的应用) 包括积分的计算和积分的相关应用两个方面。首先，广大考生要掌握积分计算的两种方法，换元积分法和分部积分法，然后再多做练习。2013年下半年考察了1道选择题，让我们求定积分的值。其次，在应用方面，要掌握定积分的几何意义，能根据定积分来求面积、用二重积分求体积。 积分部分的考查主要以定积分为主。定积分常与函数综合在一起考察，具体考的是定积分函数的导函数，以及定积分的几何意义。如13年上半年1道选择题是求定积分函数导函数零点的个数；又如13年上半年解答题考的是利用定积分求椭圆所围成图形的面积。17下半年简答题考查定积分的意义 定积分的几何意义： 1.设函数f(x)在[a,b]上连续，定积分∫f(x)dx在几何上表示曲线y=f(x)和直线x=a,x=b以及x轴围ab成各部分面积的代数和，在x轴上方取正号，在x轴下方取负号 2. 设函数f(x)在[a,b]上连续，y=f(x)两直线x=a,x=b以及x轴围成曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V=π∫∫ba[f(x)]2dx 3. 设函数f(x)在[a,b]上连续，y=f(x)两直线y=a,y=b以及y轴围成曲边梯形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为V=π定积分中值定理： dc[φ(y)]2dy 设f(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈[a,b]，使例题1：已知f(x)=xx∫f(x)dx=f(ξ)(b−a) ab∫(x+e)dx，则f′(x)=（ ）。 2A．x+e B．x+e xx2C．+ex+C D．x+ex+C 2参考答案：A 考点八：行列式和逆矩阵及特征值特征向量考点八：行列式和逆矩阵及特征值特征向量 这一知识点考察的难度不大，要求广大考生会根据行列式的性质求行列式，以及初等变换求逆矩阵即可。 （1）矩阵的加法 Am×n+Bm×n=aij+bij()m×na11+b11a+b21=21Mam1+bm1a12+b12La1na22+b22La2nMam2+bm2Lamn+b1n+b2nM+bmn （2）矩阵的数乘 λa11λa12Lλa1nλaλa22Lλa2nλAm×n=Am×nλ=λaijm×n=21MMMλam1λam2Lλamn ()（3）矩阵的乘法 C=(cij)m×n=Am×s×Bs×n=(aij)m×s×(bij)s×n其中，cij=∑ak=1s ikkjb=ai1b1j+ai2b2j+L+aisbsj AB≠BA AE=EA=A(A)k=1AALA 4243k （4）矩阵的转置 a11aTA=A′=12Ma1ma21a22Ma2mLan1Lan2OM Lanm(A)TT=A =BTAT T(AB)T(A+B)=AT+BT，(λA)=λAT T（5）矩阵的特征向量特征值 设A是n阶矩阵，如果λ和n维非零向量x使关系式 Ax=λx （1) 成立，那么，这样的数λ称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。 （1）式也可以写成 (A−λE)x=0 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 A−λE=0 a11−λa21即 Man1a12a22−λMan2La1nLa2n=0 LMLann−λ上式是以λ为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征方程。其左端A−λE是λ的n次多项式，记作f(λ)，称为矩阵A的特征多项式。显然，A的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶矩阵A在复数范围内有n个特征值。 设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,L,λn，不难证明 (i)λ1+λ2+L+λn=a11+a22+L+ann; (ii)λ1λ2Lλn=A 设λ1=λi为矩阵n的一个特征值，则由方程(A−λiE)x=0 可求得非零解x=pi，那么pi便是A的对应于特征值λi的特征向量。（若λi为实数，则pi可取实向量；若λi为复数，则pi为复向量。） −110例题1：求矩阵A=−430的特征值和特征向量。 102参考答案：A的特征值为λ1=2,λ2=λ3=1 0当λ1=2时，解(A−2E)x=0得基础解系p1=0 1所以kp1(k≠0)是对应于λ1=2的全部特征向量。 −1当λ2=λ3=1时解(A−E)x=0得基础解系p2=−2 1所以kp2(k≠0)是对应于λ2=λ3=1的全部特征向量。 考点九：整除性理论 教师资格证笔试考察的不再是简单的数的除法，而是考察多项式除法，考生需掌握因式分解这一知识点，建议广大考生掌握方法即可。比如2015年考察了1道选择题，关于两个多项式相除的商和余式。 考点十：数学课程标准 考的比较多的有课程内容、课程目标、课程基本理念。 课程内容包括数与代数、图形与几何、概率与统计、综合与实践四个方面，这是需要大家去识记的，这一知识点基本上每年都以解答题的形式出现，所以是非常重要的。2013年下半年考察了1道解答题，让我们简述“综合与实践”的教学特点。2014年下半年考察了1道选择题，2015年下半年也出了1道解答题，考察的是确定数学课程内容的依据。 关于课程目标，2013年下半年考察了1道解答题，关于数学中“四基”的含义。课程基本理念，着重掌握其中的教学活动和学习评价。2013年下半年考察了1道解答题，让我们解释教学活动中，教师的引导作用体现在哪些方面。 考点十一：数学史 在数学史方面，数学家是常考的内容。需要考生去识记，在平常看书的过程中，留意有哪些数学家，都做了哪些贡献。如2013年下半年考察了1道选择题，考察祖冲之、秦九韶、孙思邈、杨辉中哪个是数学家;2014年下半年也考察了1道选择题，让我们选创始解析几何的数学家。 1.在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》《周髀算经》是最早的一部。 《周髀算经》2.创造并首先使用“阿拉伯数码”的国家或民族是印度印度，而首先使用十进位十进位值制记数的国家或民族则是中国中国。 印度十进位中国3.微积分的创建人有牛顿、莱布尼兹、费尔马。牛顿、莱布尼兹、费尔马。 牛顿、莱布尼兹、费尔马。4.最早使用“函数函数”(function)这一术语的数学家是莱布尼茨。莱布尼茨。 函数莱布尼茨。5.被称为“现代分析之父现代分析之父”的数学家是魏斯特拉斯魏斯特拉斯，被称为“数学之王数学之王”的数学家是高斯。高斯。 现代分析之父魏斯特拉斯数学之王高斯。6.提出“集合论悖论集合论悖论”的数学家是罗素。罗素。 集合论悖论罗素。7.《几何基础》的作者是希尔伯特希尔伯特，该书所提出的公理系统包括五组公理。五组公理。 希尔伯特五组公理。8.古希腊的三大著名几何问题是化圆为方、倍立方、三等分角。化圆为方、倍立方、三等分角。 化圆为方、倍立方、三等分角。9.20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是贝利克莱因运动。 10.与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》（Ⅰ—Ⅵ卷）我国数学家是徐光启。徐光启。 徐光启。 考点十二：教学设计 教学设计题真题考查课题涉及到函数，一元二次方程，四边形的性质，勾股定理等相关内容，考查形式上趋向于更细致，分析教材要关注到教学目标，教学重难点，导入部分，新授环节里的例题，探究活动，练习题，教材中的知识推导过程，具体知识点，数学思想等 1．教学目标 知识与技能目标 了解、理解、掌握、学会、运用 过程与方法 通过……过程/活动，提高……能力 情感态度价值观 体会……感情；产生……共鸣；培养……精神；陶冶……情操 注：写三维目标，主体一定是学生，因此避免使用：使学生……；让学生…… 2.教学重点：是教材中为了达到教学目的而着重指导学生必须熟练掌握的内容 3.教学难点：是学生对教材中不易理解掌握的地方 4.教学方法：一法为主，多法配合 常见的数学教学方法有：情景教学法，讲练结合法，启发式教学法，讲授法，练习法，多媒体教学法、讨论法等 5.教学过程 导入：吸引学生注意，激发学生学习兴趣引入新课 常见的导入方式：温故导入、练习导入、图片导入、视频/音频导入、故事导入、情境导入 新授：注意学生活动，生生互动 巩固：形式多样 ④小结：学生小结，教师归纳 ⑤作业 ：开放性的作业，学以致用
