乘法公式知识讲解

【学习目标】

1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】

要点一、平方差公式

平方差公式：(ab)(ab)ab

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如(ab)(ba)利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(3x5y)(3x5y) （3）指数变化：如(mn)(mn) （4）符号变化：如(ab)(ab) （5）增项变化：如(mnp)(mnp)

（6）增因式变化：如(ab)(ab)(ab)(ab) 要点二、完全平方公式

完全平方公式：aba2abb

2222244323222(ab)2a22abb2

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

a2b2ab2abab2ab

22ab2ab4ab

2要点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查

添括号是否正确. 要点四、补充公式

(xp)(xq)x2(pq)xpq；(ab)(a2mabb2)a3b3；

(ab)a3ab3abb；(abc)abc2ab2ac2bc. 【典型例题】

332232222类型一、平方差公式的应用

1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能能用平方差公式计算的，写出计算结果．

(1)2a3b3b2a； (2) 2a3b2a3b； (3) 2a3b2a3b； (4) 2a3b2a3b； (5) 2a3b2a3b； (6) 2a3b2a3b．

【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】

解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) 2a3b2a3b＝3b－2a＝9b4a．

22

22 (3) 2a3b2a3b＝2a －3b ＝4a9b．

2222 (4) 2a3b2a3b＝2a－3b ＝4a9b．

2222 (5) 2a3b2a3b＝3b－2a＝9b4a．

2222【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：

【变式】计算：（1）x322x3y22y； （2）(2x)(2x)； （3）(3x2y)(2y3x)．

【答案】

x292x3解：（1）原式yy．

4422（2）原式(2)x4x．

22222（3）原式(3x2y)(2y3x)(3x2y)(3x2y)9x4y．

222、计算：

(1)×； (2)102×98． 【答案与解析】

解：(1)×＝(60－×(60＋＝600.1＝3600－＝

(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002＝10000－4＝9996．

【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．

举一反三：

【变式】用简便方法计算：

(1)899×901＋1； (2)99×101×10001； (3)2005－2006×2004； 【答案】

解：(1)原式＝(900－1)(900＋1)＋1＝90011＝810000．

(2)原式＝[(100－1)(100＋1)]×10001＝10021×10001

＝(10000－1)×(10000＋1)＝0－1＝．

(3)原式＝2005－(2005＋1)(2005－1)＝2005－(2005－1)＝1．

22222222222类型二、完全平方公式的应用

3、计算：

(1)3ab； (2)32a； (3)x2y； (4)2x3y．

【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.

【答案与解析】

解：(1) 3ab3a23abb9a6abb．

222222222 (2) 32a2a32a22a334a12a9．

22222 (3) x2yx2x2y2yx4xy4y ．

22222 (4) 2x3y2x3y2x22x3y3y4x12xy9y．

222222【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意abab之间的转化． 4、计算：(1)2002；(2)1999．(3)999.9． 【答案与解析】

解：(1)20022200022000222000222 ＝4000000＋8000＋4＝4008004． (2)19992200012000222000112 ＝4000000－4000＋1＝3996001．

(3) 999.910000.11000210000.10.1

22222222222＝1000000－200＋＝．

【总结升华】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方．

5、已知ab7，ab＝12．求下列各式的值：

(1) aabb；(2) (ab)．

【答案与解析】

解：(1)∵ aabb＝ab－ab＝ab－3ab＝7－3×12＝13．

222222222 (2)∵ ab＝ab－4ab＝7－4×12＝1.

222【总结升华】由乘方公式常见的变形：①ab－ab＝4ab；②ab＝ab22222－2ab＝ab＋2ab．解答本题关键是不求出a,b的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值． 举一反三：

22【变式】已知(ab)7，(ab)4，求ab和ab的值．

222【答案】

22解：由(ab)7，得a2abb7； ①

22由(ab)4，得a2abb4． ②

2222①＋②得2(ab)11，∴ ab2211． 2①－②得4ab3，∴ ab3． 4