[A组 高考达标]
一、选择题
1．(2016·泰安一模)函数f(x)＝ln x＋x－9的零点所在的区间为( ) A．(0,1) C．(2,3)
3
3
B．(1,2) D．(3,4)
C [由于函数f(x)＝ln x＋x－9在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＋18＞0，故函数f(x)＝ln x＋x－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]
2．(2016·张掖一模)已知函数f(x)＝e＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝x－
x3
14
的零点依
x次为a，b，c，则( )
A．c＜b＜a C．c＜a＜b
xB．a＜b＜c D．b＜a＜c
B [由f(x)＝0得e＝－x，由g(x)＝0得ln x＝－x.由h(x)＝0得x＝1，即c＝1.
在坐标系中，分别作出函数y＝e，y＝－x，y＝ln x的图象， 由图象可知a＜0,0＜b＜1，所以a＜b＜c.]
x＋2x，x≤0，
3．(2016·武汉模拟)已知函数f(x)＝
|lg x|，x＞0，
2
x
则函
数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为( )
A．1 C．3 C [g(x)＝f(1－x)－1
＝
2
B．2 D．4
－x2
＋－x－1，1－x≤0，－1，1－x＞0
－x
x－4x＋2，x≥1，＝－x－1，x＜1，
当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]
e＋a，x≤0，4．(2016·山东实验中学模拟)已知函数f(x)＝
3x－1，x＞0
x
(a∈R)，若函数f(x)
在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，0)
1
C．(－1,0) D．[－1,0)
1xD [当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，e＋a＝0有一
3个根即可，即e＝－a.当x≤0时，e∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)，故选D.]
2，x＞1，
5．(2016·安庆二模)已知函数f(x)＝x9x－x2，x≤1.仅有一个零点，则k的取值范围是( )
xx
若函数g(x)＝f(x)－k4A.，2
3
4B．(－∞，0)∪，＋∞ 3
C．(－∞，0)
4D．(－∞，0)∪，2 3
2，x＞1，
D [函数f(x)＝x9x－x2，x≤1，
函数g(x)＝f(x)－k仅有一个零点，即f(x)
＝k只有一个解，在平面直角坐标系中画出y＝f(x)的图象，结合函数
4图象可知，方程只有一个解时，k∈(－∞，0)∪，2，故选D.]
3
二、填空题
6．(2016·济南模拟)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，
12
当x∈[0,3)时，f(x)＝x－2x＋.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互
2不相同)，则实数a的取值范围是________．
0，1 [当x∈[0,3)时，f(x)＝x2－2x＋1＝x－
22
的函数，作出f(x)在[－3,4]上的图象，如图．
2
1
－，由f(x)是周期为32
由题意知方程a＝f(x)在[－3,4]上有10个不同的根．
2
1由图可知a∈0，.] 2
1|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为
7．(2016·西安模拟)函数f(x)＝2
________．
1|x－1|与y＝－2cos
10 [问题可转化为y＝πx在－4≤x≤6的交点的横坐标的和，因
2
为两个函数图象均关于x＝1对称，所以x＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]
－2，x＞0，
8．(2016·南宁二模)已知函数f(x)＝2
－x＋bx＋c，x≤0，
若f(0)＝－2，f(－1)
＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
【导学号：67722064】
c＝－2，
3 [依题意得
－1－b＋c＝1，x＞0，
程等价于①
－2＋x＝0，
b＝－4，
解得
c＝－2，
x≤0，
或②2
－x－4x－2＋x＝0，
令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0，该方
解①得x＝2，解②得x＝－1或
x＝－2，因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.]
三、解答题
9．已知f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R)． (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)如果函数y＝f(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围． [解] (1)当a＝1时，
1
3x－6，x≥，2
f(x)＝|2x－1|＋x－5＝1
－x－4，x＜.21x≥，由23x－6≥0，
2分
1x＜，
解得x≥2；由2
－x－4≥0，
解得x≤－4.
所以f(x)≥0的解集为{x|x≥2或x≤－4}.6分 (2)由f(x)＝0， 得|2x－1|＝－ax＋5.
作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，10分
3
观察可以知道，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．
故a的取值范围是(－2,2).12分
x210．(名师押题)已知函数fn(x)＝xln x－(n∈N*，e＝2.718 28…为自然对数的底数)．
n(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程； (2)讨论函数fn(x)的零点个数． [解] (1)因为f1(x)＝xln x－x， 所以f1′(x)＝ln x＋1－2x， 所以f1′(1)＝1－2＝－1.
又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x－1)，即
2
y＝－x.4分
x2*
(2)令fn(x)＝0，得xln x－＝0(n∈N，x＞0)，
n所以nln x－x＝0.
令g(x)＝nln x－x，则函数fn(x)的零点与函数g(x)＝nln x－x的零点相同． 因为g′(x)＝－1＝
nxn－x，令g′(x)＝0，得x＝n， x所以当x＞n时，g′(x)＜0；当0＜x＜n时，g′(x)＞0，
所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减． 所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝nln n－n.8分
①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为0； ②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2＜2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为0；
③当n≥3时，g(n)＝nln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)＞n(ln e－1)＝0， 因为g(e)＝nln e－e＜2n－4＝2n－(1＋3)＜2n－1＋3n＋－[1＋3n＋3n(n－1)]＝－n－1＜0，且g(1)＜0，
所以由函数零点的存在性定理，可得函数g(x)＝nln x－x在区间(1，n)和(n，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为2.
综上所述，当n＝1或n＝2时，函数fn(x)的零点个数为0；当n≥3且n∈N时，函数
*
2
2n2n2n2
n2n2
nn－
2
×9＜2n2
fn(x)的零点个数为2.12分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
4
1．(2016·南昌二模)若函数f(x)满足f(x)＋1＝
f1x＋
，当x∈[0,1]时，f(x)＝
x.若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－2m有两个零点，则实数m的取值范围是
( )
1
A．0＜m＜
31
C.＜m＜1 3
B [当－1＜x＜0时，0＜x＋1＜1， 所以f(x＋1)＝x＋1， 从而f(x)＝1
B．0＜m≤
31
D.＜m≤1 3
f1x＋
－1＝
1
－1， x＋1
，
1－－1＜x＜
于是f(x)＝x＋1
x，x
f(x)－mx－2m＝0⇔f(x)＝m(x＋2)，由图象可知0＜m≤kAB＝.]
2．(2016·临沂模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：①对任意x，都有f(x＋3)3313＝f(x)成立；②当x∈0，时f(x)＝－－2x，则f(x)＝在[－4,4]上根的个数是
22|x|2( )
A．4 C．6
B．5 D．7
1
3
B [∵f(x＋3)＝f(x)成立，∴奇函数f(x)是周期等于3的周期函数． 3
2x，0≤x＜，43
当0≤x≤时，f(x)＝233
3－2x，≤x≤.42
5
11
则f(x)＝在[－4,4]上根的个数就是函数f(x)与函数y＝的交点的个数，如图所
|x||x|示．故选B.]
x2－
3．(2016·临汾模拟)函数f(x)＝
fx＋
x，
x＜，
若方程f(x)＝－x＋a有且
只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( ) 【导学号：67722065】
A．(－∞，0) C．(－∞，1)
x2－
C [函数f(x)＝fx＋
xB．[0,1) D．[0，＋∞)
，
x＜
的图象如图所示，
作出直线l：y＝a－x，向左平移直线l，观察可得函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－
x＋a有两个交点，则方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根时，a＜1，故选C.]
4．(2016·衡阳模拟)函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图171(1)所示，函数g(x)的定义域为[－2,2]，图象如图171(2)所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝( )
(1) (2)
图171
A．14 C．10
A [由题图(1)可知，若f(g(x))＝0， 由g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1， 由题图(2)知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1；
B．12 D．8
g(x)＝0时，x的值有3个；
g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.
若g(f(x))＝0，
则f(x)＝－1.5或f(x)＝1.5或f(x)＝0，
6
由题图(1)知，f(x)＝1.5与f(x)＝－1.5时，x的值各有2个；
f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.
故m＋n＝14.故选A.] 二、填空题
5．(2016·中原名校联考)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝1logx＋，x∈[0，31－|x－4|， x∈[2，＋之和为________．
1－3 [函数f(x)和y＝a的图象如图所示，
a，，
则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点
由图可知，f(x)的图象与直线y＝a有5个交点，
所以函数F(x)＝f(x)－a有5个零点．从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，x5， 则x1＋x2＝－8，x4＋x5＝8.
1
当－2≤x＜0时，0＜－x≤2，所以f(－x)＝log(－x＋1)＝－log3(1－x)，
3即f(x)＝log3(1－x)，－2≤x＜0，由f(x)＝log3(1－x)＝a，解得x＝1－3，即x3＝1－3，所以函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点之和为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－3.]
11x6．(2016·衡水模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝logx，记函数h(x)＝
22
g
faaax，fxgx，
x，fx＞gx，
则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．
5 [由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，
x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以x1＋x2
2
，所以x1＋x2＝5.]
x1＋x2
2
＝5－
三、解答题
7．已知函数f(x)＝log4(4＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k的值；
7
x4x(2)设g(x)＝log4a·2－a，若方程f(x)＝g(x)有且仅有一解，求实数a的取值范围． 3[解] (1)由函数f(x)是偶函数可知，f(x)＝f(－x)，所以log4(4＋1)＋kx＝log4
(4＋1)－kx，
4＋11
所以log4－x＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，所以k＝－.4分
4＋1214xx(2)由已知f(x)＝g(x)，有且仅有一解，即方程log4(4＋1)－x＝log4(a·2－a)有且
2314xx只有一个实根，即方程2＋x＝a·2－a有且只有一个实根．
23
4x2
令t＝2＞0，则方程(a－1)t－at－1＝0有且只有一个正根.8分
33
①当a＝1时，则t＝－不合题意；
43
②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝或－3.
43
若a＝，则t＝－2，不合题意；
41
若a＝－3，则t＝；
2
③若方程有一个正根与一个负根，即
－1
＜0，解得a＞1. a－1
x－xx综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).12分 e
8．已知函数f(x)＝－x＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)．
2
2
x(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
【导学号：67722066】
e2
[解] (1)∵g(x)＝x＋≥2e＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，
2
x＋∞)．
因而只需m≥2e，g(x)＝m有实根.4分
(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出e
g(x)＝x＋(x＞0)和f(x)的图象如图．
2
x 8
∵f(x)＝－x2
＋2ex＋m－1＝－(x－e)2
＋m－1＋e2
，其最大值为m－1＋e2
， 故当m－1＋e2
＞2e，即m＞－e2
＋2e＋1时，
g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根， ∴m的取值范围是m＞－e2
＋2e＋1.12分 8分
9
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