人教B版高中数学必修一第一章集合和常用逻辑用语1.1集合(含解析)

第一章 集合和常用逻辑用语（1.1集合）

一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 2 分 ，共计20分 ） 1. 已知集合𝐴＝{𝐴|−1<𝐴<2}，𝐴＝{𝐴|0<𝐴<2}，则∁𝐴𝐴＝（） A.(−1, 0)

B.(−1, 0]

C.(0, 2) D.[0, 2)

2. 已知R为实数集，集合𝐴={𝐴|2𝐴−𝐴2≤0}，𝐴={𝐴|𝐴−1>0}，则(∁R𝐴)∩𝐴=（） A.(1,2) B.(1,2] C.(2,+∞)

D.(0,1)

3. 近似数0.03020有效数字的个数和精确度分别为（ ） A.四个，精确到十万分位 C.三个，精确到万分位

B.三个，精确到十万分位 D.四个，精确到万分位

4. 已知集合𝐴={𝐴|𝐴≤2}，𝐴={𝐴|(𝐴+7)(3−𝐴)>0}，𝐴={𝐴|𝐴=√𝐴−3}，则(𝐴∩𝐴)∪𝐴=（） A.(−7,2]

B.[0,2] C.(−7,2]∪[3,+∞)

D.(−7,+∞)

5. 集合{𝐴|𝐴≥2}表示成区间是（） A.(2, +∞)

B.[2, +∞)

C.(−∞, 2)

𝐴2

D.(−∞, 2]

𝐴2

6. 设集合𝐴={𝐴|𝐴=𝐴𝐴+(−1)𝐴, 𝐴∈𝐴}，𝐴={𝐴|𝐴=2𝐴𝐴+, 𝐴∈𝐴}，则集合𝐴与𝐴之间的关系为（ ） A.𝐴⊈𝐴 B.𝐴⊋𝐴 C.𝐴=𝐴 D.𝐴∩𝐴=𝐴

7. 已知集合𝐴={𝐴|𝐴>2}，𝐴={𝐴|2𝐴>1}，则（） A.𝐴∩𝐴={𝐴|𝐴>0} C.𝐴∩𝐴={𝐴|𝐴>1}

𝐴−𝐴

B.𝐴∪𝐴={𝐴|𝐴>0} D.𝐴∪𝐴={𝐴|𝐴>0且𝐴≠2}

8. 设函数𝐴(𝐴)=𝐴−1，集合𝐴={𝐴|𝐴(𝐴)<0}，𝐴={𝐴|𝐴′(𝐴)≥0}，𝐴是𝐴的真子集，则实数𝐴的取值范围是（ ） A.(−∞, 1)

B.(0, 1)

C.(1, +∞)

D.[1, +∞)

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9. 对任意两个集合𝐴、𝐴，定义：𝐴−𝐴={𝐴|𝐴∈𝐴且𝐴不属于𝐴}，𝐴∗𝐴=(𝐴−𝐴)∪(𝐴−𝐴)，设𝐴={𝐴|𝐴=𝐴2, 𝐴∈𝐴}，𝐴={𝐴|𝐴=3sin𝐴, 𝐴∈𝐴}，则𝐴∗𝐴=( ) A.(−∞, −3)∪(0, 3] C.(−3, 0)∪(3, +∞)

B.[−3, 0)∪(3, +∞) D.[−3, 0)∪[3, +∞)

10. 设全集𝐴=R，集合𝐴={𝐴|𝐴<1}，𝐴={𝐴|𝐴>2}，则(∁𝐴𝐴)∩𝐴=（） A.{𝐴|𝐴>2}

B.{𝐴|𝐴≥1}

C.{𝐴|1<𝐴<2}

D.{𝐴|𝐴≥2}

二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）

11. 设全集𝐴={0, 1, 2, 3, 4}，集合𝐴={0, 1, 4}，𝐴={0, 1, 3}，则正确的有（） A.𝐴∩𝐴={0, 1} C.𝐴∪𝐴={0, 1, 3, 4}

B.∁𝐴𝐴={4}

D.集合𝐴的真子集个数为8

12. 设集合 𝐴={𝐴|(𝐴−𝐴)(𝐴−3)=0}， 𝐴={𝐴|(𝐴−4)(𝐴−1)=0}， 则下列说法不正确的是（） A.若𝐴∪𝐴有4个元素，则 𝐴∩𝐴=𝐴 C.若 𝐴∪𝐴={1,3,4}， 𝐴∩𝐴≠𝐴

B.若 𝐴∩𝐴=𝐴， 则 𝐴∩𝐴 有4个元素𝐴 D.若 𝐴∩𝐴≠𝐴 ，则𝐴∪𝐴={1,3,4}

13. 若集合𝐴={−1,1,3,5}，集合𝐴={−3,1,5}，则下列正确的是( ) A.∀𝐴∈𝐴，𝐴∈𝐴 C.𝐴∩𝐴={1,5}

B.∃𝐴∈𝐴，𝐴∈𝐴

D.𝐴∪𝐴={−3,−1,3}

14. 已知全集𝐴=R，集合𝐴={𝐴|𝐴<−1}，𝐴={𝐴|2𝐴<𝐴<𝐴+3}，且𝐴⊆∁R𝐴，则在下列所给数值中，𝐴的可能取值是( ) A.−2

B.−1

C.0

D.1

三、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）

15. 某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，有10人喜欢乒乓球运动，有3人对篮球和乒乓球两种运动都喜

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欢，则该班对篮球和乒乓球运动都不喜欢的人数为________．

16. 由数3、2、3、2、1中的数字组成的集合中含有________个元素． 17. 设全集𝐴={2, 4, 𝐴2−𝐴+2}，𝐴={2, 6−𝐴}，𝐴𝐴𝐴={4}，则𝐴=________． 18. 若[𝐴, 2𝐴−1]为一确定区间，则𝐴的取值范围是________．

19. 已知全集𝐴={2, 3, 𝐴2+2𝐴−3}，若𝐴={𝐴, 2}，∁𝐴𝐴={5}，则实数𝐴=________． 20. 含有三个实数的集合可表示为{𝐴,，1}={𝐴2，𝐴+𝐴，0}，则𝐴2007+𝐴2008=________．

𝐴𝐴

四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）

21. 写出满足{0, 1}⊆𝐴⊊{0, 1, 2, 3}的所有集合𝐴．

22. 已知全集𝐴=𝐑，集合𝐴={𝐴|<𝐴𝐴<𝐴}，𝐴={𝐴|−1≤log2𝐴≤3}，𝐴={𝐴|𝐴−4<𝐴≤2𝐴−7}．

𝐴1

(1)求(∁𝐴𝐴)∩𝐴；

(2)若𝐴∩𝐴=𝐴，求实数𝐴的取值范围．

23. 已知全集𝐴=𝐴，集合𝐴={𝐴|2<𝐴<8}，𝐴={𝐴|𝐴≥6}，求𝐴∩𝐴，𝐴∪𝐴，(∁𝐴𝐴)∩𝐴． 24. 设𝐴＝{𝐴|2𝐴2+𝐴𝐴+2＝0}，𝐴＝{𝐴|𝐴2+3𝐴+2𝐴＝0}，𝐴∩𝐴＝{2}． （1）求𝐴的值及集合𝐴、𝐴；

（2）设全集𝐴＝𝐴∪𝐴，求(∁𝐴𝐴)∪(∁𝐴𝐴)的所有子集．

25. 在某次数学竞赛有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个同学至少选作一题．在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；解出甲题的人数比余下的人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学解出乙题？

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参与试题解析

一、 选择题 1.【答案】B

【考点】全集、补集及相关运算 【解析】由全集𝐴，确定出𝐴的补集即可． 【解答】∵ 𝐴＝(−1, 2)，𝐴＝(0, 2)， ∴ ∁𝐴𝐴＝(−1, 0]， 2.【答案】A

【考点】全集、补集及相关运算

6.【答案】C

3. 【答案】A 【考点】常用的数集

【解析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．

【解答】近似数0.030 20有效数字的个数和精确度分别为四个，精确到十万分位．

【考点】集合的相等

【解析】先化简集合𝐴={𝐴|𝐴={𝐴|𝐴=

4𝐴+12

2𝐴+(−1)𝐴

2

所以(𝐴∩𝐴)∪𝐴=(−7,+∞)． 故选𝐴．

5.【答案】B

【考点】区间与无穷的概念

【解析】根据区间的定义，可得答案．

【解答】解：集合{𝐴|𝐴≥2}表示成区间是[2, +∞)， 故选：𝐴．

𝐴, 𝐴∈𝐴}=

𝐴, 𝐴∈𝐴}，其中元素的本质上与集合𝐴一

样，从而解决问题．

【解答】解：𝐴={𝐴|𝐴=𝐴𝐴+(−1)𝐴, 𝐴∈𝐴}=

2𝐴

{𝐴|𝐴=

2𝐴+(−1)𝐴

2

𝐴, 𝐴∈𝐴}，

𝐴

4𝐴+12

𝐴={𝐴|𝐴=2𝐴𝐴+2, 𝐴∈𝐴}={𝐴|𝐴=

𝐴, 𝐴∈𝐴}，

4.【答案】D

【考点】交、并、补集的混合运算

【解答】解：因为𝐴={𝐴|𝐴≤2}，𝐴={𝐴|(𝐴+7)(3−𝐴)>0}={𝐴|−7<𝐴<3}， 所以𝐴∩𝐴=(−7,2]．又𝐴={𝐴|𝐴=√𝐴−3}={𝐴|𝐴≥0}，

∴ 其中元素的本质上与集合𝐴一样， ∴ 𝐴=𝐴． 故选𝐴．

7.【答案】B

【考点】交集及其运算，并集及其运算

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8.【答案】D

【考点】子集与真子集

【解析】利用分式的求导法则，求出′𝐴(𝐴)，通过解两个分式不等式，化简集合𝐴，𝐴，再根据𝐴⊊𝐴，求出𝐴的范围．

【解答】解：∵ 函数𝐴(𝐴)=

𝐴−𝐴𝐴−1

中新定义的集合运算求出𝐴−𝐴=(3, +∞)，𝐴−𝐴=[−3, 0)，最后即可求得𝐴∗𝐴．

【解答】解：依题意有𝐴=[0, +∞),𝐴=[−3, 3]， 所以𝐴−𝐴=(3, +∞)，𝐴−𝐴=[−3, 0)， 故𝐴∗𝐴=(𝐴−𝐴)∪(𝐴−𝐴)=[−3, 0)∪(3, +∞)．

，

答案：𝐴

∴ 对于集合𝐴={𝐴|𝐴(𝐴)<0}， 若𝐴>1时，𝐴={𝐴|1<𝐴<𝐴}； 若𝐴<1时，𝐴={𝐴|𝐴<𝐴<1}； 若𝐴=1时，𝐴=𝐴． ∵ 𝐴′(𝐴)=

(𝐴−1)−(𝐴−𝐴)(𝐴−1)2

10.【答案】A

【考点】交、并、补集的混合运算

【解析】（1）利用题目所给信息进行解题即可. 【解答】解：已知全集𝐴=R，集合𝐴={𝐴|𝐴<1}，

≥0．

𝐴={𝐴|𝐴>2}， 则∁𝐴𝐴={𝐴|𝐴≥1} ， 可得(∁𝐴𝐴)∩𝐴={𝐴|𝐴>2} . 故选𝐴.

∴ 对于𝐴={𝐴|𝐴′(𝐴)≥0}， 若𝐴>1时，𝐴=𝐴， 若𝐴<1时，𝐴=𝐴； 若𝐴=1，则𝐴=𝐴，

二、 多选题

∵ 𝐴⊊𝐴，

11.【答案】A,C

∴ 𝐴≥1，

【考点】子集与真子集的个数问题，交、并、补

∴ 𝐴∈[1, +∞)．

集的混合运算

故选𝐴．

【解析】根据集合的交集，补集，并集的定义分

9.【答案】B

别进行判断即可．

【考点】并集及其运算

【解答】解：∵ 全集𝐴={0, 1, 2, 3, 4}，集合𝐴=

【解析】先化简题中两个集合𝐴、𝐴，再根据题目

{0, 1, 4}，𝐴={0, 1, 3}，

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∴ 𝐴∩𝐴={0, 1}，故𝐴正确； ∁𝐴𝐴={2, 4}，故𝐴错误； 𝐴∪𝐴={0, 1, 3, 4}，故𝐴正确；

集合𝐴的真子集个数为23−1=7，故𝐴错误. 故选𝐴𝐴. 12.【答案】B,C

【考点】并集及其运算，交集及其运算 【解析】由集合的交集、并集运算逐个进行判断即可.

【解答】解：集合𝐴={1,4},

当𝐴∪𝐴有4个元素，则𝐴≠3，4，1，则𝐴∩𝐴=𝐴，故𝐴正确；

当𝐴∩𝐴=𝐴时，则𝐴≠4，1，则当𝐴=3时，𝐴∪𝐴有3个元素，故𝐴不正确；

若𝐴∪𝐴={1,3,4}，则𝐴=3或4或1，当𝐴=3时，𝐴∩𝐴=𝐴，故𝐴不正确；

若𝐴∩𝐴≠𝐴，则𝐴=4或1，则𝐴∪𝐴={1,3,4}，故𝐴正确. 故选𝐴𝐴.

【解析】由集合元素的关系，集合的交集、并集运算，逐个进行判断

【解答】解：𝐴，𝐴=−3∈𝐴，但−3∉𝐴，故选项𝐴错误；

𝐴，𝐴=1∈𝐴，且1∈𝐴，故选项𝐴正确； 𝐴，𝐴∩𝐴={1,5}，故选项𝐴正确； 𝐴，𝐴∪𝐴={−3,−1,1,3,5}，故选项𝐴错误. 故选𝐴𝐴.

14.【答案】C,D

【考点】补集及其运算，集合的包含关系判断及应用

【解析】先求出∁𝐴𝐴，再由题意讨论集合𝐴是否是空集，从而求𝐴的取值范围．

【解答】解：由题意得∁R𝐴={𝐴|𝐴≥−1}． ∵ 𝐴⊆∁R𝐴．

①若𝐴=𝐴，即𝐴+3≤2𝐴，即𝐴≥3时，满足𝐴⊆∁R𝐴．

②若𝐴≠𝐴，则2𝐴≥−1且2𝐴<𝐴+3，即−2≤𝐴<3．

综上可得𝐴≥−2． 故𝐴可能取0，1. 故选𝐴𝐴.

1

1

13.【答案】B,C

【考点】交集及其运算，并集及其运算 元素与集合关系的判断

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三、 填空题 15.【答案】8

【考点】Venn图表达集合的关系及运算 【解析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．

【解答】解：由全集𝐴={2, 4, 𝐴2−𝐴+2}，𝐴={2, 6−𝐴}，𝐴𝐴𝐴={4}，

得到元素4∉𝐴，且𝐴2−𝐴+2=6−𝐴，

解得𝐴=2或𝐴=−2，把𝐴=2代入6−𝐴=4，不合题意，舍去， 所以𝐴=−2．

【解答】解：根据题意得：30−(15+10)+3=8， 故答案为：−2 则该班对篮球和乒乓球运动都不喜爱的人数有8人． 18.【答案】(1,+∞) 故答案为：8 16.【答案】3

【考点】集合的含义与表示

【解析】分析给定数中值互不相同的个数，即可得到满足条件的集合元素的个数．

【解答】解：根据集合元素的互异性，可得由数3、2、3、2、1中的数字组成的集合中含有3个元素，故答案为：3．

【考点】区间与无穷的概念

【解析】根据区间的定义，满足𝐴<2𝐴−1，解不等式即可．

【解答】解：要使[𝐴,2𝐴−1]为一确定区间， 即满足𝐴<2𝐴−1， 解得𝐴>1，

故𝐴的取值范围是(1, +∞). 故答案为：(1, +∞).

17.【答案】−2

【考点】交、并、补集的混合运算

19.【答案】2或−4 【考点】补集及其运算

【解析】由全集𝐴及𝐴的补集列出关于𝐴的方程，求出方程的解即可得到𝐴的值．

【解答】解：∵ 全集𝐴={2, 3, 𝐴2+2𝐴−3}，若𝐴={𝐴, 2}，∁𝐴𝐴={5}，

【解析】根据集合𝐴的补集及全集𝐴，得到元素4不属于集合𝐴，进而得到𝐴2−𝐴+2=6−𝐴，求出方程的解即可得到𝐴的值，把𝐴的值代入集合𝐴检验，得到满足题意的𝐴的值．

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∴ 𝐴2+2𝐴−3=5，𝐴=3， 解得：𝐴=2或𝐴=−4， 故答案为：2或−4

23.【解答】解：∵ 𝐴={𝐴|2<𝐴<8}，𝐴={𝐴|𝐴≥6}，

∴ 𝐴∩𝐴={𝐴|6≤𝐴<8}， 𝐴∪𝐴={𝐴|𝐴>2}，

(∁𝐴𝐴)∩𝐴={𝐴|𝐴≥8或𝐴≤2}∩{𝐴|𝐴≥6}={𝐴|𝐴≥8}．

24.【解答】解：∵ 𝐴∩𝐴＝{2}， ∴ 2∈𝐴， ∴ 8+2𝐴+2＝0， ∴ 𝐴＝−5

20.【答案】−1 【考点】集合的相等

【解析】利用分母不为0得到𝐴≠0，利用集合相等的定义得到𝐴=0及𝐴2=1，求出𝐴代入集合检验集合的三要素．

【解答】解：据题意得𝐴≠0 ∴ 𝐴=0

∴ {1, 𝐴, 0}={0, 𝐴, 𝐴}

2

𝐴={2,2}； 𝐴＝{2, −5}

𝐴＝𝐴∪𝐴={2,−5,}，

21

1

∴ 𝐴2=1 解得𝐴=1或𝐴=−1

当𝐴=1时，不满足集合的互异性 所以𝐴=−1 所以𝐴

2007

∴ ∁𝐴𝐴＝{−5}，∁𝐴𝐴={}

2

1

∴ (∁𝐴𝐴)∪(∁𝐴𝐴)={−5,}

2

2008

1

+𝐴=−1

∴ (∁𝐴𝐴)∪(∁𝐴𝐴)的所有子集为：𝐴，{−5}，{2}，{−5, 2}．

25.【解答】解：设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为𝐴、𝐴、𝐴，并用三个圆表示之， 则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合，其人数分别以𝐴，𝐴，𝐴，𝐴，𝐴，𝐴，𝐴表示．

1

1

故答案为：−1．

四、 解答题

21.【解答】解：∵ 合𝐴满足{0, 1}⊆𝐴⊊{0, 1, 2, 3}，

∴ 𝐴可以为：{0, 1}，{0, 1, 2}，{0, 1, 3} 22.【解答】此题暂无解答

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由于每个学生至少解出一题，故𝐴+𝐴+𝐴+𝐴+𝐴+𝐴+𝐴=25①；

由于没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍，故𝐴+𝐴=2(𝐴+𝐴)②； 由于解出甲题的人数比余下的人数多1人，故𝐴+𝐴+𝐴+𝐴=13③

，𝐴+𝐴+𝐴=12④，由于只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，故𝐴=𝐴+𝐴⑤， 由②得：𝐴=2𝐴+𝐴，𝐴=𝐴−2𝐴⑥，

以⑥代入④消去𝐴得2𝐴−𝐴=12，又∵ 𝐴+𝐴≤12，

∴ 𝐴=6，𝐴=0或𝐴=7，𝐴=2，或𝐴=8，𝐴=4； (1)若𝐴=6，𝐴=0，则𝐴=𝐴+𝐴=6，𝐴=𝐴−2𝐴=6，

则𝐴+𝐴+𝐴=25−18=7，

则解出乙题的有：𝐴+𝐴+𝐴+𝐴=6+6+7−𝐴 =19−𝐴，

故可以为12，13，14，15，16，17，18，19． (2)若𝐴=7，𝐴=2，则𝐴=𝐴+𝐴=9，𝐴=𝐴−2𝐴=3，

则𝐴+𝐴+𝐴=25−21=4，

则解出乙题的有：𝐴+𝐴+𝐴+𝐴=7+3+4−𝐴=

14−𝐴，

故可以为10，11，12，13，14；

(3)若𝐴=8，𝐴=4，则𝐴=𝐴+𝐴=12，𝐴=𝐴−2𝐴=0，

则𝐴+𝐴+𝐴=25−24=1，

则解出乙题的有：𝐴+𝐴+𝐴+𝐴=8+0+1−𝐴=9−𝐴，

故可以为：8，9．

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