关于拓扑空间连通性的研究【文献综述】

毕业论文文献综述

数学与应用数学 关于拓扑空间连通性的研究

一、前言部分

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。

本文主要着重阐述了L-拓扑空间的连通性这一新内容。到目前为止，L-拓扑学已成为较为成熟且完整的学科(国内外已有这方面的多部著作)。

二、主题部分

一般拓扑学从19世纪成为一个的科学分支至今已经历了一百多年的发展历史．虽然它的与发展相对于其他一些古老的数学学科如分析学、代数学，欧氏几何学和数论要晚了许多，但经过一百多年，特别是20世纪40年代到70年代的蓬勃发展，一般拓扑学已日趋成熟与完善(参见[1]及其参考文献)．

“什么是拓扑学？”这是许多初学者都会提到的问题。拓扑学是一种几何学，它是研究几何图形的。但是拓扑学所研究的并不是大家最熟悉的普通的几何性质，而是图形的一种特殊性质，即所谓“拓扑性质”。尽管拓扑性质是图形的一种很基本的性质，它也是具有很强的几何直观，却很难用简单的语言来准确地描述，它的确切定义可以用抽象的语言来描述，也可以从几个例子来直观地反映。最具特色的问题就是一笔画问题、七桥问题、地图着色问题及Euler多面体定理。这些问题定理所涉及到图形在整体结构上的特性，就是“拓扑性质”。它们与几何图形的大小、形状，以及所包含线段的曲直等等都无关，也就不能用普通的几何方法来处理，需要有一种新的几何学来研究它们，这个学科就是拓扑学，也有人形象地称它为橡皮几何学，因为它研究的性质在图形做弹性形变时是不会改变的。而我们把这种变形称为图形的“拓扑变换”,它也可以用集合和映射的语言来确切的描述。

由于许多数学分支的活动范围早已突破了欧氏空间的，甚至也超出了度量空间的领

域，拓扑学作为这些数学分支的基础，必须研究更加一般的空间。现在就要着一种能用来刻画拓扑性质的新的空间结构，以替代欧氏结构和度量结构。而这种新结构就是所谓的拓扑结构。

之前我们已经直观反映了“拓扑性质”，现在我们就用抽象语言来具体描述它的几个重要的性质：分离性、可数性、紧致性和连通性。前面两种性质也可以看作拓扑公理的补充；后两种性质在分析学中已经出现过，它们有很强的几何直观性，是拓扑学中最基础的性质。

拓扑公理只是概括了度量拓扑最基本性质，而不是全部性质，有时，这种不足会带来不方便。分离性和可数性常作为附加性质，弥补公理的不足，因此它们本身也称为公理。有两个可数公理和一系列分离公理，文献[13]主要介绍了两个可数公理和四个较常见的分离公理：T1,T2,T3和T4公理。

在分析学中紧致性（在那里它等价于列紧性）早就显示了它的威力。有界闭区间上的连续函数是有界的，达到它的最大、最小值，并且是一致连续的。在证明这些结论时都用到了同一事实：有界闭区间上的每个序列有收敛的子序列。这种性质后来称为“列紧性”（自列紧），它可以一字不改地推广到一般拓扑空间中。

普通的几何中图形的“连通”性是一个非常直观的概念，它几乎必须给出数学定义。譬如，谁都知道，在圆锥曲线中，椭圆和抛物线是连通的，而双曲线是不连通的。然而，对于复杂一些的图形，单凭直观就不行了，必须深化认识。现在，把连通性作为拓扑概念给出，必须深化认识。现在，把连通性作为拓扑概念给出严格的定义。直观上的连通，可以有两个含义：其一是图形不能分割称互不“粘连”的两部分；其二是图形上任何两点可以用图形上的线连结。在拓扑学中，这两种含义分别抽象称“连通性”和“道路连通性”两个概念。

从拓扑上解释“空间X分割成互不粘连的两部分“A和B”，就是说XAUB，A和B是互不相交的非空子集，并且A和B都不包含对方的聚点，也就是说A和B是不相交的闭集（从而也是开集）。于是得到连通性的定义：

拓扑空间X称为连通的，如果它不能分解为两个非空不相交开集的并。显然，连通与下面几种说法是等价的：

X不能分解为两个非空不相交闭集的并； X没有既开又闭的非空真子集；

X的既开又闭的子集只有X和。（文献[13]是这样定义的） 其他文献在定义连通空间时会引入隔离的概念。如文献[14]：

设A和B是拓扑空间X中的两个子集。如果AIBUBIA，则称子集A和B

是隔离的。从而连通空间可以如下定义：

设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得XAUB，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间。它也有如下的等价条件：

X中存在着两个非空的闭子集A和B使得AIB=和AUBX成立； X中存在着两个非空的开子集A和B使得AIB=和AUBX成立； X中存在着一个既开又闭的非空真子集。

不难发现，不管怎么定义，它们所要最终阐述的事都是同一件，只是他们用了不同语言来涵盖这件事而已。

较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似乎觉得更符合我们的直觉因而易于理解些，首先，“道路”定义如下:

设X是一个拓扑空间,从单位闭区间[0,1]到X中的每一个连续映射f:0,1X叫做X中的一条道路，并且此时f0和f1分别成为道路f的起点和终点。当xf0和f1时，则称f是x到y的一条道路。起点和终点相同的道路成为闭路，并且这时，它的起点（也就是它的终点）称为闭路的基点。

定义完“道路”我们就可以这样定义道路连通空间：

设X是一个拓扑空间,如果对于任何x.y.存在这X的一条从x到y的道路（或曲线），我们则称X是一个道路连通空间。

以上便是几个重要的拓扑性质。然而在文献[16]的最后一章节中，介绍从序论角度研究拓扑的一些基本方法和结果对于一个拓扑空间X，它的拓扑OX关于几何的包含序是完备格。人们可以通过对完备格OX的研究来获得对拓扑空间的认识，从连续格与局部紧性之间的相互刻画，将看到这一方法的有效性。(参见[16]及其参考文献)

另一方面，从序结构出发，我们可构造若干有趣的拓扑空间，并应用序论的技巧和成果对这些空间的拓扑性进行研究，获得拓扑学中有普遍意义的成果。

格上拓扑学将拓扑结构、序结构融为一体，它有两个比较成熟的研究分支：

Local理论和L一拓扑学．Local理论的特点是无点式的，其论证常常是构造性的而不是诉

诸于选择公里，具有很浓的构造性色彩．工一拓扑空间的研究从1968年c．L．Chang[2]提出Fuzzy拓扑空间概念的第一篇论文算起，至今已有30多年．在这30多年中，它的研究已从初始的模仿性研究逐渐走上了创新的道路，层次结构的特点使它具有了不同于一般拓扑学的特点、风格，与完备格代数结构的紧密联系又赋予了它以新的生命力．

在L-拓扑学发展的初期，一部分学者沿用无点式方法，也曾获得过许多漂亮而有创造性的结果，其中以C．K．Wong[3]的局部化及B．button[4，5]一致化研究尤为突出．但是，由于其研究工作不涉及点，不可避免的会有许多局限性．如对局部性质的讨论、对Moore-Smith收敛理论的建立以及嵌入理论的研究等都难以展开．

事实上，在LX中自然存在一种“点”，即所谓的fuzzy点．因此在L-拓扑 学发展的初期，许多学者都力图沿着有点式方向工作，他们沿用一般拓扑学中的 邻域方法来研究L-拓扑，但在相当长的时间内无大的进展．1977年刘应明院士

[15]在分析了C．K．Wong的Fuzzy点及其邻域系理论的弊端以后，修改了Fuzzy点及其对一个Fuzzy集的从属关系，首次打破传统的属于关系和邻域方法，引入了“重于”这一新的Fuzzy点和Fuzzy集之间的从属关系，这样的“重于”关系满足一条基本原则一择一原则[7]，相应地，引入了“重域“的概念，从而为L一拓扑学的点式处理打开了大门．随后王国俊教授引入了。远域”的概念，沿着这一方向，有点式L-拓扑学的研究取得了很大进展，获得了丰富多彩的成果．到目前为止，L-拓扑学已成为较为成熟且完整的学科(国内外已有这方面的多部著作，参见文献[8,9，10，11]等)．

文献[12]以拓扑空间的局部紧性、L-拓扑空间的局部良紧性以及连通性为基础，研究拓扑空间的局部仿紧性、L-拓扑空间的局部仿紧性以及连通性．结构和主要内容安排如下：

第一章作为预备部分，给出了全文将要用到的一些概念、符号和结果．

第二章给出了拓扑空间的三种局部仿紧性的定义，证明了这三种局部仿紧性在正则空间范畴中是等价的；分别讨论了它们对开、闭子空间的遗传性、在连续的既开又闭映射下的不变性以及可和性等；证明了这三种局部仿紧性均可加强分离性．

第三章给出了L-拓扑空间的六种局部仿紧性的定义，研究了这六种局部仿紧性之间的蕴涵关系，证明了本文第二章所定义的拓扑空间的局部仿紧性的一些重要结果对局部仿紧L-拓扑空间仍成立，并将局部良紧工一拓扑空间的某些好的性质推广到相应的局部仿紧L-拓扑空间．结果表明前四种局部仿紧性既是闭遗传的又是开遗传的，后两种局部仿紧性是闭遗传的．这些局部仿紧性在某种序同态下是保持不变的．

第四章研究了L-拓扑空间的连通性．定义了L-拓扑空间的连通性和连通分支的概念，讨论了它们的一些性质，给出连通的一些等价刻画，证明了连通L-拓扑空间是比连通L-拓扑空间更广泛的一类空间．在F格L的最大元l是分子时，得到了连通性是可积性质的结论．作为特例，I-单位区间和I-实直线是连通的．

事实上，文献[12]首先回顾了一般拓扑、L-拓扑的基本概念，定义了拓扑空间中的三种局部仿紧性，证明了这三种局部仿紧性在正则空间范畴中是等价的；分别讨论了它们对开、闭子空间的遗传性、在连续的既开又闭映射下的不变性以及可和性等；证明了这三种局部仿紧性均可加强分离性．

其次给出了L-拓扑空间的六种局部仿紧性的定义，研究了这六种局部仿紧性之间的蕴涵关系，证明了本文第二章所定义的拓扑空间的局部仿紧性的一些重要结果对局部仿紧L-拓扑空间仍成立，并将局部良紧L-拓扑空间的某些好的性质推广到相应的局部仿紧L-拓扑空间．结果表明前四种局部仿紧性既是闭遗传的又是开遗传的，后两种局部仿紧性是闭遗传的．这些局部仿紧性在某种序同

态下是保持不变的．最后研究了L-拓扑空间的连通性．定义了工一拓扑空间的连通性和L-连通分支的概念，讨论了它们的一些性质，给出连通的一些等价刻画，证明了连通L-拓扑空间是比连通L-拓扑空间更广泛的一类空间．在F格L的最大元1是分子时，得到了连通性是可积性质的结论．

不难发现拓扑与序结构的相互结合，不仅为研究拓扑学提供了了新的角度，同时也加强了拓扑学与其他学科的联系，拓广了拓扑学应用的途径。

三、总结部分

本文主要介绍了拓扑空间的相关知识，重点阐述拓扑空间一种重要性质：连通性。再由序结构出发，构造出L-拓扑空间。讨论L-拓扑空间的连通性的相关知识。到目前为止，L-拓扑学已成为较为成熟且完整的学科(国内外已有这方面的多部著作。

四、参考文献

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