插值法-第二次程序题

题目1：对Runge函数R(x)1在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和2125xR(x)的图像进行比较，并对结果进行分析。

0i20，(1)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的20次Newton插值

多项式的图像。 (2)用节点xicos(2i1，绘出它的20次Lagrange）（,i0，1,2，，20）42插值多项式的图像。

0i20，(3)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的分段线性插值函数

的图像。

0i20，(4)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的三次自然样条插值

函数的图像。

程序及分析：

0i20，(1)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的20次Newton插值

多项式的图像。

Matlab程序如下：

%计算均差

x=[-1:0.1:1]; n=length(x); syms z for i=1:n

y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i)); end

N=zeros(n,n); N(:,1)=y'; for j=2:n for k=j:n

N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1)); end end for t=1:n c(t)=N(t,t) end

%构造插值多项式 f=N(1,1); for k=2:n a=1;

for r=1:(k-1) a=a*(z-x(r)); end

f=f+N(k,k)*a; end

%作图

a=[-1:0.001:1]; n=length(a); for i=1:n

b(i)=1/(1+25*a(i)*a(i)); end

fx=subs(f,z,a); subplot(2,1,1);

plot(a,b,'k',a,fx,'r'); c=[-0.6:0.001:0.6]; n=length(c); for i=1:n

d(i)=1/(1+25*c(i)*c(i)); end

fx=subs(f,z,c); subplot(2,1,2);

plot(c,d,'k',c,fx,'r');

结果与分析：

由下图可以看出，在区间[-0.6,0.6]上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。而在边界附近，插值多项式与被插值函数的差别很大。即出现了Runge现象。

主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。其插值余项

f(n1)()R（n1(x)不趋近零。插值多项式不能收敛到被插值函数。 nx)(n1)!Runge函数 插值多项式

(2) 用节点xicos(2i1）（,i0，1,2，，20），绘出它的20次Lagrange42插值多项式的图像。

Matlab程序如下：

clear; %插值点

for i=1:21

x(i)=cos((2*(i-1)+1)*pi/42); end

n=length(x); for i=1:n

y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i)); end

%构造插值基函数 syms z; temp=1; for i=1:n lx=1; for j=1:n if i~=j

temp=(z-x(j))/(x(i)-x(j));

lx=lx*temp; end end l(i)=lx; end %插值多项式 l=l'; L=y*l;

%作图

a=[-1:0.01:1]; n=length(a); for i=1:n

b(i)=1/(1+25*a(i)*a(i)); end

fx=subs(L,z,a); subplot(2,1,1);

plot(a,b,'k',a,fx,'x r');

结果与分析：

如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。

Runge函数 X

L插值多项式

Runge函数 X

L插值多项式 Newton插值多项式

（主要原因是其多项式误差为f(x)-Lnx)1(n1)f。 n2(n1)!

0i20，(3)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的分段线性插值函数

的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear; x=[-1:0.1:1]; n=length(x); syms z for i=1:n

y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i)); end

%构造分段线性插值多项式

for i=1:n-1

l(i)=(z-x(i+1))/(x(i)-x(i+1))*y(i)+(z-x(i))/(x(i+1)-x(i))*y(i+1) % l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i))*(z-x(i)) end

%作图

for i=1:n-1

a=[x(i):0.01:x(i+1)]; f=subs(l(i),z,a) plot(a,f,'k') hold on end

结果与分析：

如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。

Runge函数

……..

分段线性

利用线性插值多项式的误差估计：

h2R（maxf(2) nx)8

0i20，(4)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的三次自然样条插值

函数的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear; x=[-1:0.1:1]; n=length(x); syms z; for i=1:n

y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i)); end

for i=1:n-1 h(i)=x(i+1)-x(i); end

for i=1:n-2

u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i)); r(i)=1-u(i); end

G=zeros(n,n); for i=1:n

G(i,i)=2; end

for i=2:n-1

G(i,i-1)=u(i-1); G(i,i+1)=r(i-1); end

G(n,n-1)=1; G(1,2)=1; d=zeros(1,n); for i=2:n-1

d(i)=6*((y(i+1)-y(i))/h(i)-(y(i)-y(i-1))/h(i-1))/(h(i)+h(i-1)); end syms u v;

u=diff(1/(1+25*v*v),v); a=subs(u,v,x(1)); b=subs(u,v,x(n));

d(1)=((y(2)-y(1))/h(1)-a)/h(1)*6; d(n)=(b-(y(n)-y(n-1))/h(n-1))/h(n-1)*6; d=d'; M=inv(G)*d; for i=1:n-1

s(i)=M(i)*(x(i+1)-z)^3/0.6+M(i+1)*(z-x(i))^3/0.6+(y(i)-M(i)*0.01/6)*(x(i+1)-z)/0.1+(y(i+1)-M(i+1)*0.01/6)*(z-x(i))/0.1; end

for i=1:n-1

a=[x(i):0.01:x(i+1)]; f=subs(s(i),z,a); plot(a,f,'x r') hold on end

结果与分析：

三次样条插值函数得到的图像如下：

可以看出，三次样条插值函数的曲线及其光滑。得到的函数十分接近被插值函数。

Runge函数

XXXX 三次样条

题目2：对函数：

在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和被插值函数的图像进行比较，并对结果进行分析。

0i20，(1)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的20次Newton插值

多项式的图像。 (2)用节点xicos(2i1）（,i0，1,2，，20），绘出它的20次Lagrange42插值多项式的图像。

0i20，(3)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的分段线性插值函数

的图像。

0i20，(4)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的三次自然样条插值

函数的图像。

程序及分析：

0i20，(1)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的20次Newton插值

多项式的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear; %计算均差

x=[-1:0.1:1]; n=length(x); syms z; y=zeros(1,n) for i=1:10

y(i)=sin(pi*x(i)); end

for i=11:15

y(i)=cos(pi*x(i)); end for i=15:n y(i)=0; end

N=zeros(n,n); N(:,1)=y'; for j=2:n for k=j:n

N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1)); end end for t=1:n c(t)=N(t,t); end

%构造插值多项式 f=N(1,1); for k=2:n a=1;

for r=1:(k-1) a=a*(z-x(r)); end

f=f+N(k,k)*a; end

%作图

v=linspace(-1,0,50); u=sin(pi*v);

plot(v,u,'k') hold on

v=linspace(0,0.5,25); u=cos(pi*v); plot(v,u,'k') hold on

v=linspace(0.5,1,10000); u=0;

plot(v,u,'k') hold on a=[-1:0.001:1]; fx=subs(f,z,a); plot(a,fx,'r');

结果与分析：

等距节点20次Newton插值得到的函数图像如下：可以看出，在整个区间上，插值多项式精度都不是很高。出现了Runge现象。

见下图

被插值函数 插值多项式

被插值函数 插值多项式

(2)用节点xicos(2i1）（,i0，1,2，，20），绘出它的20次Lagrange42插值多项式的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear; %求插值节点 for i=1:21

x(i)=cos((2*(i-1)+1)*pi/42); end

n=length(x); y=zeros(1,n); for i=1:n if x(i)<0

y(i)=sin(pi*x(i)); elseif x(i)>0.5 y(i)=0; else

y(i)=cos(pi*x(i)); end end %插值基函数 syms z; temp=1; for i=1:n lx=1; for j=1:n

if i~=j

temp=(z-x(j))/(x(i)-x(j)); lx=lx*temp; end end l(i)=lx; end %插值多项式 l=l'; L=y*l;

%作图

a=[-1:0.01:1]; fx=subs(L,z,a); plot(a,fx,'x r');

结果与分析：

如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比Newton插值多项式接近原函数，没有出现Runge现象。

被插值函数 插值多项式

0i20，(3)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的分段线性插值函数

的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear; x=[-1:0.1:1]; n=length(x); syms z; for i=1:10

y(i)=sin(pi*x(i)); end

for i=11:15

y(i)=cos(pi*x(i)); end for i=15:n y(i)=0; end

%构造插值多项式

for i=1:n-1

l(i)=(z-x(i+1))/(x(i)-x(i+1))*y(i)+(z-x(i))/(x(i+1)-x(i))*y(i+1); % l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i))*(z-x(i)); end

%作图

for i=1:n-1

a=[x(i):0.01:x(i+1)]; f=subs(l(i),z,a); plot(a,f,'x r') hold on end

结果与分析：

如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。但是在间断点处及导数不存在的点误差较大。主要是因为这些地方构造的线性函数斜率较大，不能较好的趋近原函数。

被插值函数 插值多项式

0i20，(4)用等距节点xi-1ih,h0.1,绘出它的三次自然样条插值

函数的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear; x=[-1:0.1:1]; n=length(x); syms z for i=1:10

y(i)=sin(pi*x(i)); end

for i=11:15

y(i)=cos(pi*x(i)); end for i=15:n y(i)=0; end

for i=1:n-1 h(i)=x(i+1)-x(i); end

for i=1:n-2

u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i)); r(i)=1-u(i); end

G=zeros(n,n); for i=1:n G(i,i)=2; end

for i=2:n-1

G(i,i-1)=u(i-1); G(i,i+1)=r(i-1); end

G(n,n-1)=1; G(1,2)=1; d=zeros(1,n); for i=2:n-1

d(i)=6*((y(i+1)-y(i))/h(i)-(y(i)-y(i-1))/h(i-1))/(h(i)+h(i-1)); end syms u v;

u=diff(sin(pi*v),v); a=subs(u,v,x(1)); b=0;

d(1)=((y(2)-y(1))/h(1)-a)/h(1)*6; d(n)=(b-(y(n)-y(n-1))/h(n-1))/h(n-1)*6; d=d'; M=inv(G)*d; for i=1:n-1

s(i)=M(i)*(x(i+1)-z)^3/0.6+M(i+1)*(z-x(i))^3/0.6+(y(i)-M(i)*0.01/6)*(x(i+1)-z)/0.1+(y(i+1)-M(i+1)*0.01/6)*(z-x(i))/0.1; end

for i=1:n-1

a=[x(i):0.01:x(i+1)]; f=subs(s(i),z,a); plot(a,f,'x r') hold on end

结果与分析：

三次样条插值函数得到的图像如下：

可以看出，三次样条插值函数在间断点处也有较大误差。

被插值函数 插值多项式