2019年浙江省宁波市鄞州区东钱湖、李关弟、实验中学等校联考中考数学模拟试卷(3月份)解析版

考中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）﹣的相反数是（ ） A．5

B．

C．﹣

D．﹣5

2．（4分）雾霾天气对北京地区的人民造成严重影响，为改善大气质量，北京市决定投入7600亿元治理雾霾，请你对7600亿元用科学记数法表示（ ） A．7.6×1010元

B．76×1010元

C．7.6×1011元

D．7.6×l012元

3．（4分）下列计算正确的是（ ） A．x+x2＝x3

B．2x﹣3x＝﹣x

C．（x2）3＝x5

D．x6÷x3＝x2

4．（4分）某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同．若知道某位选手的决赛得分，要判断她能否获奖，只需知道这11名选手得分的（ ） A．中位数

B．平均数

C．众数

D．方差

5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）

A．150° B．130° C．120° D．100°

6．（4分）圆锥的母线长为10，侧面积为60π，则这个圆锥的底面周长为（ ） A．10π

B．12π

C．16π

D．20π

7．（4分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）

A． B． C． D．

8．（4分）某校安排三辆车，组织九年级学生去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与

小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

9．（4分）如图所示的工件的主视图是（ ）

A． B． C． D．

10．（4分）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）

A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°

11．（4分）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（ ）

A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b

12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一个含有45〫角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A（﹣3，﹣3）处，将其绕点A旋转，这个45〫角的两边所在的直线分别交x轴，yC， 轴的正半轴于点B，连结BC，函数y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，则（ ）

A． B． C． D．k＝

二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）实数9的平方根是 ． 14．（4分）分解因式：3m2﹣27＝ ． 15．（4分）在函数y＝

中，自变量x的取值范围是 ．

16．（4分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B，若其对称轴为直线x＝2，则OB﹣OA的值为 ．

17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在边BC上，把△DEC沿DE翻折后，点C落在C′处．若△ABC′恰为等腰三角形，则CE的长为 ．

18．（4分）如图，在直径为8的弓形ACB中，弦AB＝，C是弧AB的中点，点M为

弧上动点，CN⊥AM于点N，当点M从点B出发逆时针运动到点C，点N所经过的路径长为 ．

三、解答题（本大题有8小题，共78分） 19．（6分）

20．（8分）某校为了解九年级学生的身体素质情况，体育老师对九（1）班50位学生进行测试，根据测试评分标准，将他们的得分进行统计后分为A，B，C，D四等，并绘制成如图所示的频数分布表和扇形统计图．

等第 A 成绩（得分） 10分 9分 B 8分 7分 C 6分 5分 合计 5分以下 频数（人数） 7 x 15 8 4 y 3 50 频率 0.14 m 0.30 0.16 0.08 n 0.06 1 （1）直接填出：m＝ ，x＝ ，y＝ （2）求表示得分为C等的扇形的圆心角的度数

（3）如果该校九年级共有700名学生，试估计这700名学生中成绩达到A等和B等的人数共有多少人？

21．（10分）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%的材料． （1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？

（2）如果制作甲、乙两种包装盒共3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需要材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料？

22．（8分）定义：顶点都在网格点上的四边形叫做格点四边形，端点都在网格点上的线段叫做格点线．如图1，在正方形网格中，格点线DE、CE将格点四边形ABCD分割成三个彼此相似的三角形．请你在图2、图3中分别画出格点线，将阴影四边形分割成三个彼此相似的三角形．

23．（10分）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F．已知∠AEF＝135°． （1）求证：DF∥AB； （2）若OC＝CE，BF＝

，求DE的长．

24．（10分）已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

25．（12分）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°， ①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长． ②若AC⊥BD，求证：AD＝CD，

AB＝5，BC＝9，（2）如图2，在矩形ABCD中，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．

26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与坐标轴交于A，B两点，动点C在x轴正半轴上，⊙D为△AOC的外接圆，射线OD与直线AB交于点E． （1）如图①，若OE＝DE，求

＝ ；

（2）如图②，当∠ABC＝2∠ACB时，求OC的长；

（3）点C由原点向x轴正半轴运动过程中，设OC的长为a， ①用含a的代数式表示点E的横坐标xE；②若xE＝BC，求a的值．

2019年浙江省宁波市鄞州区东钱湖、李关弟、实验中学

等校联考中考数学模拟试卷（3月份）

参与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）﹣的相反数是（ ） A．5

B．

C．﹣

D．﹣5

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：﹣的相反数是， 故选：B．

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2．（4分）雾霾天气对北京地区的人民造成严重影响，为改善大气质量，北京市决定投入7600亿元治理雾霾，请你对7600亿元用科学记数法表示（ ） A．7.6×1010元

B．76×1010元

C．7.6×1011元

D．7.6×l012元

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：7600亿元用科学记数法表示为7.6×1011， 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（4分）下列计算正确的是（ ） A．x+x2＝x3

B．2x﹣3x＝﹣x

C．（x2）3＝x5

D．x6÷x3＝x2

【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可解答． 【解答】解：A、x•x2＝x3，故本选项错误； B、2x﹣3x＝﹣x，故本选项正确； C、（x2）3＝x6，故本选项错误； D、x6÷x3＝x3，故本选项错误；

故选：B．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，解决本题的关键是熟记同底数幂的除法，底数不变，指数相减．

4．（4分）某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同．若知道某位选手的决赛得分，要判断她能否获奖，只需知道这11名选手得分的（ ） A．中位数

B．平均数

C．众数

D．方差

【分析】由于比赛设置了6个获奖名额，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．

【解答】解：11个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了． 故选：A．

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）

A．150° B．130° C．120° D．100°

【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB＝∠ABE，又由∠BED＝150°，即可求得∠A的大小． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∵∠BED＝150°， ∴∠ABE＝∠AEB＝30°，

∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．

故选：C．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

6．（4分）圆锥的母线长为10，侧面积为60π，则这个圆锥的底面周长为（ ） A．10π

B．12π

C．16π

D．20π

【分析】根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：设底面圆的周长为x． 由题意：×x×10＝60π， ∴x＝12π， 故选：B．

【点评】本题考查圆锥的计算，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

7．（4分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：连接DC， 由网格可得：CD⊥AB， 则DC＝故sinA＝故选：B．

，AC＝＝

＝

， ．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键． 8．（4分）某校安排三辆车，组织九年级学生去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与

小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解：设3辆车分别为A，B，C，

共有9种情况，在同一辆车的情况数有3种， 所以坐同一辆车的概率为， 故选：A．

【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键． 9．（4分）如图所示的工件的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．

【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形． 故选：B．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项，难度适中．

10．（4分）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）

A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°

【分析】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C＝4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．

【解答】解：∵∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合， ∴∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C＝4， ∴△A′B′C是等边三角形， ∴B′C＝4，∠B′A′C＝60°， ∴BB′＝6﹣4＝2，

∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°． 故选：B．

【点评】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．

11．（4分）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（ ）

A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b

【分析】从图形可知空白部分的面积为S2是中间边长为（a﹣b）的正方形面积与上下两个直角边为（a+b）和b的直角三角形的面积，再与左右两个直角边为a和b的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为S1是大正方形面积与空白部分面积之差，再由S2＝2S1，便可得解．

【解答】解：由图形可知，

，

，

∵S2＝2S1，

∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2）， ∴a2﹣4ab+4b2＝0， 即（a﹣2b）2＝0， ∴a＝2b， 故选：B．

【点评】本题主要考查了求阴影部分面积和因式分解，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积和正确进行因式分解．

12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一个含有45〫角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A（﹣3，﹣3）处，将其绕点A旋转，这个45〫角的两边所在的直线分别交x轴，yC， 轴的正半轴于点B，连结BC，函数y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，则（ ）

A． B． C． D．k＝

【分析】过A点作AM⊥x轴，AN⊥y轴，连接AO，根据A点坐标可知OA长度，再证明△AOC∽△BOA，根据得到的比例式计算出OB•OC；过D点作DE⊥x轴，DF⊥y轴，根据D为BC中点可以计算出DE•DF，从而确定了k值． 【解答】解：过A点作AM⊥x轴，AN⊥y轴， 则四边形AMON是正方形，连接AO． 由A（﹣3，﹣3）可得OA＝3则∠AOC＝∠BOA＝135°． ∵∠1+∠2＝45°，∠1+∠3＝45°，

．

∴∠2＝∠3． ∴△AOC∽△BOA． ∴

，即OA2＝OB•OC＝18．

∴△OBC面积＝×18＝9．

过D点作DE⊥x轴，DF⊥y轴，∵D为BC中点，∴DE＝OD，DF＝OB． k＝DE•OF＝OB•OC＝．

故选：D．

【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定和性质． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）实数9的平方根是 ±3 ． 【分析】直接利用平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵±3的平方是9， ∴9的平方根是±3． 故答案为：±3．

【点评】此题主要考查了平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．

14．（4分）分解因式：3m2﹣27＝ 3（m+3）（m﹣3） ．

【分析】应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：3m2﹣27， ＝3（m2﹣9）， ＝3（m2﹣32）， ＝3（m+3）（m﹣3）． 故答案为：3（m+3）（m﹣3）．

【点评】本题考查了提公因式法和平方差公式分解因式，需要进行二次分解因式，分解因式要彻底． 15．（4分）在函数y＝

中，自变量x的取值范围是 x≥2且x≠4 ．

【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可． 【解答】解：根据题意得解得x≥2且x≠4，

∴自变量x的取值范围是x≥2且x≠4， 故答案为x≥2且x≠4．

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0．

16．（4分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B，若其对称轴为直线x＝2，则OB﹣OA的值为 4 ．

，

【分析】先A（x1，0），B（x2，0），可知x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，根据对称轴得：b＝﹣4a，由根与系数的关系可计算OB﹣OA的值． 【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0）， 则x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根， ∵抛物线的对称轴是：x＝2， ∴﹣

＝2，

∴b＝﹣4a，

由图可知：x1＜0，x2＞0，

∴OB﹣OA＝x2﹣（﹣x1）＝x2+x1＝﹣＝﹣故答案为：4．

【点评】本题考查了二次函数图象对称轴、一元二次方程根与系数的关系，属于基础题，关键是结合图象进行解题．

17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在边BC上，把△DEC沿DE翻折后，点C落在C′处．若△ABC′恰为等腰三角形，则CE的长为 2或

．

＝4，

【分析】分两种情形分别求解即可解决问题．

【解答】解：如图1中，当C′A＝C′B时，作C′H⊥AD于H交BC于F．

易知HC′＝FC′＝1，在Rt△DHC′中，DH＝由△DHC′∽△C′FE，可得：∴

＝

， ，

＝

，

＝，

∴EF＝

∵四边形DHFC是矩形， ∴CF＝DH＝∴CE＝

﹣

， ＝

．

如图2中，当AB＝AC′时，点C′在AD上，此时四边形CEC′D是正方形，CE＝2．

综上所述，满足条件的CE的值为2或．

【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题属于中考常考题型． 18．（4分）如图，在直径为8的弓形ACB中，弦AB＝

，C是弧AB的中点，点M为

弧上动点，CN⊥AM于点N，当点M从点B出发逆时针运动到点C，点N所经过的路径长为

．

【分析】首先确定圆心，由弧中点联想到垂径定理，从而通过计算不难得到△AOC为等 边三角形．确定AC＝4，再由圆的定义确定点N的轨迹，最后由弧长公式计算出路经长．【解答】解：设O为圆心，C为弧AB的中点，由垂径定理可得：OC⊥AB，OC平分AB AB＝2

，AO＝4，则HO＝2，∠AOC＝60°，AC＝AO＝4，CN⊥AM

取AC得中点D，ND＝AC＝2，

∴点N的轨迹为D为圆心，2为半径的圆的部分，且圆心角为60° 路经长为： 故答案：

【点评】本题是个常规的圆的轨迹题，通过定角（∠ANC＝90°）和定弦（AC＝4）确定

N的轨迹再来计算，难度不大． 三、解答题（本大题有8小题，共78分） 19．（6分）

【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别代入得出答案．

【解答】解析：原式＝1﹣2＝1﹣2+2 ＝1．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20．（8分）某校为了解九年级学生的身体素质情况，体育老师对九（1）班50位学生进行测试，根据测试评分标准，将他们的得分进行统计后分为A，B，C，D四等，并绘制成如图所示的频数分布表和扇形统计图．

等第 A 成绩（得分） 10分 9分 B 8分 7分 C 6分 5分 合计 5分以下 频数（人数） 7 x 15 8 4 y 3 50 频率 0.14 m 0.30 0.16 0.08 n 0.06 1 ×

+2

（1）直接填出：m＝ 0.22 ，x＝ 11 ，y＝ 2 （2）求表示得分为C等的扇形的圆心角的度数

（3）如果该校九年级共有700名学生，试估计这700名学生中成绩达到A等和B等的人数共有多少人？

【分析】（1）首先根据扇形统计图计算A等的人数，从而计算出x的值，再根据总数计算y的值，最后根据频率＝频数÷总数，计算m，n的值； （2）根据C所在的圆心角＝C等的频率×360°；

（3）首先计算样本中达到A等和B等的人数的频率，进一步估计总体中的人数． 【解答】解：（1）x＝50×36%﹣7＝11， y＝50﹣（7+11+15+8+4+3）＝2， m＝11÷50＝0.22；

（2）∵n＝2÷50＝0.04，

∴C等扇形的圆心角的度数为：（0.08+0.04）×360°＝43.2度；

（3）达到A等和B等的人数为：（0.14+0.22+0.3+0.16）×700＝574人． 答：这700名学生中成绩达到A等和B等的人数共有574人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．（10分）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%的材料． （1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？

（2）如果制作甲、乙两种包装盒共3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需要材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料？

【分析】（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，根据“同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个”，列出方程，即可解答； （2）根据所需要材料的总长度l＝甲盒材料的总长度+乙盒材料的总长度，列出函数关系式；再根据“甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍”求出n的取值范围，根据一次函数的

性质，即可解答．

【解答】解：（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，

，

解得：x＝0.5，

经检验x＝0.5是原方程的解， ∴（1+20%）x＝0.6（米），

答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料． （2）根据题意得：l＝0.6n+0.5（3000﹣n）＝0.1n+1500， ∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍， ∴n≥2（3000﹣n） 解得：n≥2000， ∴2000≤n＜3000， ∵k＝0.1＞0， ∴l随n增大而增大，

∴当n＝2000时，l最小1700米．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题．

22．（8分）定义：顶点都在网格点上的四边形叫做格点四边形，端点都在网格点上的线段叫做格点线．如图1，在正方形网格中，格点线DE、CE将格点四边形ABCD分割成三个彼此相似的三角形．请你在图2、图3中分别画出格点线，将阴影四边形分割成三个彼此相似的三角形．

【分析】图2中，连接AC、CE，得△ABC∽△CDE∽△ECA，相似比为△BCE∽△EBA∽△CED，相似比为【解答】解：如图所示

：2．

：2；图3中，

【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质及勾股定理．

23．（10分）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F．已知∠AEF＝135°． （1）求证：DF∥AB； （2）若OC＝CE，BF＝

，求DE的长．

【分析】（1）证明：连接OF，根据圆内接四边形的性质得到∠AEF+∠B＝180°，由于∠AEF＝135°，得出∠B＝45°，于是得到∠AOF＝2∠B＝90°，由DF切⊙O于F，得到∠DFO＝90°，由于DC⊥AB，得到∠DCO＝90°，于是结论可得；

（2）过E作EM⊥BF于M，由四边形DCOF是矩形，得到OF＝DC＝OA，由于OC＝CE，推出AC＝DE，设DE＝x，则AC＝x，在Rt△FOB中，∠FOB＝90°，OF＝OB，BF＝2

，由勾股定理得：OF＝OB＝2，则AB＝4，BC＝4﹣x，由于AC＝DE，OCDF

＝CE，由勾股定理得：AE＝EF，通过Rt△ECA≌Rt△EMF，得出AC＝MF＝DE＝x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC＝BM，问题可得． 【解答】（1）证明：连接OF， ∵A、E、F、B四点共圆， ∴∠AEF+∠B＝180°， ∵∠AEF＝135°， ∴∠B＝45°，

∴∠AOF＝2∠B＝90°， ∵DF切⊙O于F， ∴∠DFO＝90°，

∵DC⊥AB， ∴∠DCO＝90°，

即∠DCO＝∠FOC＝∠DFO＝90°， ∴四边形DCOF是矩形， ∴DF∥AB；

（2）解：过E作EM⊥BF于M， ∵四边形DCOF是矩形， ∴OF＝DC＝OA， ∵OC＝CE， ∴AC＝DE，

设DE＝x，则AC＝x，

∵在Rt△FOB中，∠FOB＝90°，OF＝OB，BF＝2则AB＝4，BC＝4﹣x， ∵AC＝DE，OCDF＝CE， ∴由勾股定理得：AE＝EF， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵EC⊥AB，EM⊥BF

∴EC＝EM，∠ECB＝∠M＝90°， 在Rt△ECA和Rt△EMF中

∴Rt△ECA≌Rt△EMF， ∴AC＝MF＝DE＝x，

在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC＝BM， ∴BF＝BM﹣MF＝BC﹣MF＝4﹣x﹣x＝2解得：x＝2﹣即DE＝2﹣

， ．

，

，由勾股定理得：OF＝OB＝2，

【点评】本题考查了圆周角性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，矩形的性质和判定的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．（10分）已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在

下方的函数值小，可得答案；

（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【解答】解：（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点， ∴M的坐标是（b，4b+1）， 把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1， ∴点M在直线y＝4x+1上； （2）如图1，

直线y＝mx+5交y轴于点B，

∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上， ∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2， 二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，

当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1， ∴A（5，0）． 由图象，得

当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5； （3）如图2，

∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F， A（5，0），B（0，5）得 直线AB的解析式为y＝﹣x+5， 联立EF，AB得 方程组

，

解得，

∴点E（，），F（0，1）．

点M在△AOB内， 1＜4b+1＜

∴0＜b＜．

当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣＝﹣b，∴b＝， 且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上， 综上：①当0＜b＜时，y1＞y2， ②当b＝时，y1＝y2， ③当＜b＜时，y1＜y2．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．

25．（12分）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°， ①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长． ②若AC⊥BD，求证：AD＝CD，

AB＝5，BC＝9，（2）如图2，在矩形ABCD中，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．

【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题； ②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；

（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；

【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是正方形， ∴BD＝AC＝

②如图1中，连接AC、BD． ∵AB＝BC，AC⊥BD， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD， ∴AD＝CD．

（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6， ∵AB＝5， ∴AE≠AB

∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．

＝

．

若EF与BC不垂直，

①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ∴AE＝AB＝5．

②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ∴BF＝AB＝5， ∵DE∥BF，

∴DE：BF＝PD：PB＝1：2， ∴DE＝2.5， ∴AE＝9﹣2.5＝6.5，

综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．

【点评】本题考查四边形综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与坐标轴交于A，B两点，动点C在x轴正半轴上，⊙D为△AOC的外接圆，射线OD与直线AB交于点E． （1）如图①，若OE＝DE，求

＝

；

（2）如图②，当∠ABC＝2∠ACB时，求OC的长；

（3）点C由原点向x轴正半轴运动过程中，设OC的长为a，

①用含a的代数式表示点E的横坐标xE；②若xE＝BC，求a的值．

【分析】（1）根据三角形的面积公式计算；

（2）作OF⊥AC于点F，根据一次函数的性质求出OA、OB，根据正切的定义得到tan∠ODC＝2，设DF＝m，根据勾股定理用m表示出OD，计算即可； （3）①作EH⊥AO于点H，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案； ②分C在点B右侧、C在点B左侧两种情况，分别列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵OE＝DE， ∴S△AOE＝S△ADE， ∵AD＝CD， ∴S△CDE＝S△ADE， ∴

＝，

故答案为：；

（2）作OF⊥AC于点F，

对于直线y＝﹣2x+4，当y＝0时，x＝2，当x＝0时，y＝4，

则A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），即OA＝4，OB＝2， ∵∠ABC＝2∠ACB， ∴∠ADO＝∠ABC， ∴∠ODC＝∠ABO， ∴tan∠ODC＝tan∠ABO＝2， 设DF＝m，则OF＝2m， 由勾股定理得，OD＝

＝

m，

∴CF＝（﹣1）m，

， ，即

＝

，

∴tan∠OCD＝∴

＝

解得，OC＝2﹣2；

（3）①设直线OD交⊙D另一点为G，连结AG，作EH⊥AO于点H， 则EH∥AG， ∴∴

＝+

，＝

＝+；

， ＝1，即

+

＝1，

解得，xE＝

②当C在点B右侧时，BC＝xE，即a﹣2＝xE， ∴a﹣2＝解得，a1＝1+

，

，a2＝1﹣

（舍去），

当C在点B左侧时，BC＝xE，即2﹣a＝xE， ∴2﹣a＝

，

，a2＝﹣1﹣±1．

（舍去），

解得，a1＝﹣1+所以a的值为

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．