第3章 集合与关系习题答案7.19

习题 3

1．集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误：

(1){1}∈A ； (2){c}∈B； (3) {1，{2}，4}A；(4){a，b，c}B； (5){2}A； (6){c}B； (7)A； (8){{2}}A；

(9){}B； (10)∈{{2}，3}.

解：(1)不正确。因为{1}是集合，集合与集合之间一般不能有属于关系。 (2)正确。虽然{c}是集合，但是它又是B中的元素。

(3)正确。虽然{1，{2}，4}是A的真子集，但是同时满足子集定义，故可以这样表示。 (4)不正确。因为cB。

(5)不正确。虽然{2}是一个集合，但是它只是A中的一个元素，不能有包含关系。 (6)不正确。理由同(5)。 (7)正确，符合定义。 (8)正确，都符合定义。

(9)不正确，因为B中本没有元素。

(10)不正确。不是{{2}，3}是中的元素，不能有属于关系，若写成{{2}，3}则可以。 2．求下列集合的幂集：

(1) {a，{b}}； (2) {1，}； (3){X，Y，Z}

解：(1) 设A={a，{b}}，则P(A)={ ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}； (2)设B={1，}，则P(B)= { ，{1}，{}，{1，}}；

(3)设C={X，Y，Z}，则P(C)= { ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y， Z }，{X，Y，Z}}；

3．证明：对任意集合A，B都有

P(A)∩P(B)＝P(A∩B)，P(A)∪P(B)⊆P(A∪B)，并举例说明，一般P(A)∪P(B)≠P(A∪B)。 证明：

对任意的集合C，若

C∈P(A)∩P(B)C∈P(A)∧C∈P(B)C⊆A∧C⊆BC⊆A∩B 所以P(A)∩P(B)＝P(A∩B)成立。 对任意的集合C，若

C∈P(A)∪P(B)C∈P(A)∨C∈P(B)C⊆A∨C⊆BC⊆A∪B 所以P(A)∪P(B)⊆P(A∪B)成立。

举例：A={1,2}，B={2,3}，P(A)={ ，{1}，{2}，{1,2}}，P(B)={ ，{2}，{3}，{2,3}}， P(A)∪P(B)={ ，{1}，{2}，{1,2}，{3}，{2,3}}，

A∪B={1,2,3}，P(A∪B)= { ，{1}，{2}，{1,2}，{3}，{2,3}，{1,3}，{1,2,3}}。 所以，P(A)∪P(B)≠P(A∪B)。

4．设U{1,2,3,4,5},A{1,4},B{1,2,5},C{2,4}，求下列集合： (1) AB； (2) (AB)C；

(3) AB； (4) AB； 解:(1) {4}; (2) {1,3,5}; (3){2,3,4,5};(4) {2,3,4,5}; 5．证明下列等式：

(1) (AB)BAB；

(2) (AB)B；

(3) A(BC)(AB)

证明： (1) (AB)(2) (AB)(AC)；

B(AB)B(AB)B(AB)(BBA(BB)AB；

B)；

(3) A(BC)A(BC)ABCA(BC)(AB)(AC)；

6．在1~300的整数中（包括1和300），分别求满足以下条件的整数的个数： (1) 同时能被3，5和7 整除。

(2) 既不能被3和5 整除，也不能被7整除。 (3) 可以被3整除，但不能被5和7整除。 (4) 可以被3或5整除，但不能被7整除。 (5) 只能被3，5和7中的一个数整除。

解：设A={能被3整除的个数}，B={能被3整除的个数}，C={能被3整除的个数}

|A|=100, |B|=60, |C|=42, |AB|=20, |AC|=14, |BC|=8,| ABC|=2,其关系文氏图如图所示。

所以(1)2；(2)138；(3)68；(4)120；(5)124；

7．某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。

解：设A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}，C={会打网球的人}

|A|=14, |B|=12, |AB|=6,|AC|=5,| ABC|=2, |C|=6,CAB

其关系文氏图如图所示。

25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5

不会打球的人共5人。

8． 请在集合A＝{a,b,c}上分别构造满足下述要求的二元关系： (1)既是对称又是反对称的； (2)既不自反也不反自反； (3)对称且自反；

(4)自反,对称且传递；

(5)以{,}为子集而且还是传递的。 解：

(1){,,} (2){,}

(3){,,,,} (4){,,,,} (5){,}

9．证明：若关系R是对称的, 则Rk(k≥1, kN)也是对称的。 证明：

设R是A上的二元关系，x，yA，若xRky成立，则由关系复合的定义，存在x0=x,x1,x2,…xk-1,xk=y，使得x0Rx1, x1Rx2,…, xk-1Rxk成立，由R是对称的,故xkRxk-1, xk-1Rxk-2, …, x2Rx1, x1Rx0成立,再由关系复合的定义，有xkRkx0成立，即yRkx，因而Rk(k≥1, kN)是对称的。

10．设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图。

解：r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>} R2=R5={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} R3={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>} R4={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}

t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}。 关系图略。

11. 设集合A={a,b,c,d}上的关系R={,,,}，用矩阵运算求出R的自反、对称和传递闭包。 解：

MR01000100

01001001000010000100

1001001010，IA0000100000010001

010010∨=10010000001000

10∨1000100001000100100010100010010000010100010000

10=00001000100001000100001011001010

0010，M1R00100010。 11

01010100 10010010001000010001 0010 001010000100, 00所以r(R)={,,,,,,}

所以s(R)={,,,,}

MR2MR3010010000100100000101000

MR40100100011000100所以Mt(R)1000111100000110000011 100100010010000100100001 00t(R)={ ,,,,,,,,} 12．求集合{a，b，c，d}的所有划分和等价关系。

解：集合{a，b，c，d}有4个元素，可作如下划分：

1) 4＝1＋1＋1＋1型划分，只有一个，即{ {a}，{b}，{c}，{d}}，对应的等价关系为：{ a>，，，}。

2C42) 4＝2＋1＋1型划分，有＝6个，即{ {a，b}，{c}，{d}}，{ {a，c}，{b}，{d}}，{ {a，

d}，{b}，{c}}，{ {b，c}，{a}，{d}}，{ {b，d}，{a}，{c}}，{ {c，d}，{a}，{b}}，对应

的等价关系为：{ ，，，，，}，{ ，，，，，}，{ ，，，，，}，{ ，，，，，}，{ ，，，，，}，{ ，，，，，}。

1C43) 4＝3＋1型划分，有＝4个，即{ {a，b，c}，{d}}，{ {a，b，d}，{c}}，{ {a，c，d}，

{b}}，{ {b，c，d}，{a}}，对应的等价关系为：{ ，，，，c>，，，，，}，{ ，，，，，，，，，}，{ ，，，，，，，，，}，{ ，，，，，，，，，}。

4) 4＝2＋2型划分，有C4/2＝3个，即{ {a，b}，{c，d}}，{ {a，c}，{ b，d}}，{ {a，d}，

{b，c}}，对应的等价关系为：{ ，，，，，，，}，{ ，，，，，，，}，{ ，，，，，，，}。

5) 4＝4＋0型划分，有1个，即{ {a，b，c，d}}，对应的等价关系为：{ ，，c>，，，，，，，，，，，，， }。

综上，集合{a，b，c，d}的划分和等价关系共有15个。

13.设R是非空集合A上的二元关系。如果对a,b,c∈A满足aRb且bRccRa，则称R为A上循环关系。证明：R是自反和循环的关系当且仅当R是等价关系。 证明：

必要性：若R是自反和循环的，对a,b,c∈A，aRa成立，若aRc成立，由R是循环的，有cRa，因此R是对称的，再若aRb且bRc，由R是循环的，有cRa，再由R是对称的，有aRc，因此R是传递的，因而R是等价关系。

充分性：若R是等价关系，则显然R是自反的，只需证R是循环的。对a,b,c∈A，若 aRb且bRc，由R的传递性，有aRc，再由R的对称性，有cRa，因此R是循环的。 14. 设A, B是非空集合，f是从A到B的映射。定义A上二元关系R为：

2

x，y∈A, xRy当且仅当f(x)=f(y)

证明：R是A上等价关系，并描述由R生成的A的划分。 证明：

显然f(x)=f(x)，因此xRx当，即R是自反的。

若xRy，有f(x)=f(y)，因此f(y)=f(x)，所以yRx，即R是对称的。

若xRy，yRz，有f(x)=f(y)，f(y)=f(z)，因此f(x)=f(z)，所以xRz，即R是传递的。 因此R是A上等价关系。

由R生成的A的划分中凡是对应的值相同的自变量属于同一分块。 15. 给出一个既是等价关系又是偏序关系的二元关系。 解： A＝{a,b,c}上的R={,,}。

16.A＝{1， 2， 3， 4， 5， 6}， A上的相容关系R１和R２的关系简图如图1所示。 试分别写出R１和R２以及它们的最大相容类， 并求出R１和R２的完全覆盖。

图1 习题23用图

解：R１的最大相容类有：{1，3，5}，{1，2，5}，{3，4}，{4，6}；

R２的最大相容类有：{1，2，3，5，6}，{4}；

17．设A1,2,4,8,12,24,上的整除关系Ra1,a2a1,a2A,a1整除a2，R是否为A上的偏序关系？若是，则： (1)画出R的哈斯图；

(2)求它的极小元，最大元，极大元，最大元。 解：(1) R是A上的偏序关系,哈斯图如图,。

(2) 极小元、最小元是1,极大元、 最大元是24。



18．设A＝｛1, 2, 3, 5, 6, 9, 15, 27, 36, 45｝ (1) 画出A中整除关系的哈斯图。

(2) 求出A的所有极大元和极小元。 (3) 求lub (2, 9)和 glb (2, 9)。 解：(1)略。

(2)极大元：27，36，45。极小元：1； (3)lub (2, 9)=36，glb (2, 9)=1；

19．画出集合S={1,2,3,4,5,6}在偏序关系“整除”下的哈斯图， （1）写出{1,2,3,4,5,6}的最大(小)元和极大(小)元；

（2）分别写出{2,3,6}和{2,3,5}的上(下)界、上(下)确界。 解：哈斯图如下：

42635{1,2,3,4,5,6}的最大元：无。{1,2,3,4,5,6}的最小元：1。 {1,2,3,4,5,6}的极大元：4、5、6。{1,2,3,4,5,6}的极小元：1 {2,3,6}的上界：6。{2,3,6}的下界：1。

{2,3,6}的上确界：6。{2,3,6}的下确界：1。 {2,3,5}的上界：无。{2,3,5}的下界：1。 {2,3,5}的上确界：无。{2,3,5}的下确界：1。

1

20.设偏序集如图2所示，求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下界、上界、最大下界、最小上界。 解：极小元：a, b, c, g；极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B的下界和最大下界都 不存在, 上界有d 和 f, 最小上界为 d.

图2 习题20用图