课后作业_公园内道路设计问题

要求：① 问题一比作，问题二和问题三选作；② 按照数学建模论文的要求提供完整解决方案。

某大学计划建一个形状为矩形或其他不规则图形的公园，不仅为了美化校园环境，也是想为其学生提供更的生活条件。公园计划有若干个入口，现在你需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连(可以利用公园四周的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长)，使总的道路长度和最小，前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。

主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园，其相关数据为：长200米，宽100米，1至8各入口的坐标分别为：

P1(20, 0), P2(50, 0), P3(160, 0), P4(200, 50), P5(120, 100), P6(35, 100), P7(10, 100), P8(0, 25) 示意图见图1，其中图2即是一种满足要求的设计，但不是最优的。 现完成以下问题：

问题一：假定公园内确定要使用4个道路交叉点为：A(50, 75)，B(40, 40)，C(120, 40)，D(115, 70）。问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。建立模型并给出算法，画出道路设计图，计算新修路的总路程。

问题二：现在公园内可以任意修建道路，如何在满足条件下使总路程最少。建立模型并给出算法，给出道路交叉点的坐标，画出道路设计图，计算新修路的总路程。

问题三：若公园内有一条矩形的湖，新修的道路不能通过，但可以到达湖四周的边，示意图见图3。重复完成问题二的任务。

其中矩形的湖为R1(140, 70), R2(140, 45), R3=(165, 45), R4=(165,70)。

注：以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连到四周的其它点。

图1 公园及入口示意图

图2 一种可能的道路设计图

图3 有湖的示意图