人口预测模型灰色预测

社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是根据研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统却是按颜色命名的。用“黑’’表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰\"表示部分信息明确、部分信息不明确。相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知\"的“小样本\"、“贫信息\"不确定性系统，它通过对“部分\"已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。

在人们的生活、经济活动或科研活动中，经常会遇到信息不完全的情况。例如，在农业生产中，即使是播种面积、、化肥、灌溉等信息完全明确，但由于劳动力技术水平、自然环境、气候条件、市场行情等信息不明确，仍难以准确地预计出产量、产值；在证券市场上，即使最高明的系统分析人员亦难以稳操胜券，因为预测不准金融、利率、企业改革、政治风云和国际市场变化及其某些板块价格波动对其他板块之影响的确切信息。

灰色系统理论经过20年的发展其主要内容包括以灰色哲学为基础的思想体系，以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色模型(GM)为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。

灰色系统分析除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面 的内容。

灰色模型按照五步建模思想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机行，挖机潜在的规律，经过差分方程与微分方程之间的互换，实现了利用离散的数据序列建立连续的动态微分方程。

灰色预测是基于GM模型作出的定量预测，有GM(1,1))模型、残差GM(1,1)模型、新陈代谢GM(1,1)模型、灰色Verhulst模型、离散灰色模型等几种类型。

灰色组合模型包括灰色经济计量学模型(G．E)、灰色生产函数模型(G—CD)、灰色马尔可夫模型(G—M)、灰色序列组合模型等。 3．2灰色预测模型

运用GM(1,1)模型、灰色Verhulst模型、离散灰色模型三个模型对深圳人口数量进行预测研究。

3．2．1 GM(1,1)模型 定义3．2．1设X称

(0)(x(0)(1),x(0)(2),,,x(0)(n)),X(1)(x(1)(1),x(1)(2),,,x(1)(n))

X(0)(k)ax(k)(k)b

为GM(1,1)模型的原始形式。

其中G表示灰色(grey)，M表示模型(Model)，第一个1表示一阶方程，第二l表示1个变量。

GM(1，1)模型首先对原始数据进行一阶累加生成，然后利用指数曲线拟合并预测，最后通过累减还原得到预测值。一般将原始数据序列记为X(0)，将一阶累加生成序列记为

X(1)。建GM(1,1)模型的步骤如下：

(1) 假定原始数据序列为

X(0)(x(0)(1),x(0)(2),,,x(0)(n))

对原始数据序列进行一阶累加生成

X(1)(x(1)(1),x(1)(2),,,x(1)(n))

其中，

X(k)x(0)(i) k1,2,,n

(1)i1k(2) 构造Z(1)(1)序列

令x(k)1(1)x(k)x(1)(k1)，得 2Z(0)(z(0)(1),z(0)(2),,,z(0)(n))

(3) 建立白化方程

dx(1)ax(1)b dt(4) 求参数a和b

1z(1)(2)21z(1)(3)Tˆa,b为参数序列，且B2若a1z(1)(n)2T1)x(0(2)(0)1x(3)， Yn

(0)x(n)1T1T用最小二乘法求解 aa,b(BB)BYn

(5) 将白化方程离散化，微分变差分，得GM(1，1)灰微分方程

x(0)(k)az(1)(k)b

称为GM(1,1)模型的基本形式。 (6) 白化微分方程求解 求得到微分方程的解为：

bbx(1)(t)(x(1)(1))eat

aaGM(1,1)灰色预测模型x(0)(k)az(1)(k)b的时间响应方程为：

bbˆ(1)(k1)(x(0)(1))eak xaa还原值为

ˆ(0)(k1)xˆ(1)(k1)xˆ(1)(k) xˆˆ(1)(k)及x其中a为发展系数，a2,2，反映了x(0)的发展态势。b为灰色作用量。

GM(1,1)模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，

其确切内涵是灰色的。

灰色模型预测检验一般有残差检验和后验差检验。 一、残差检验

ˆ(1)(k)，ˆ(1)(k)生成xˆ(0)(k)，ˆ(0)(k)的按预测模型计算x累减x再计算原始序列x(0)(k)和x绝对误差和相对误差序列：

ˆ(0)(k), k1,2,,n 0(k)x(0)(k)x(0)(k)(k)(0)100%, k1,2,,n

x(k)二、后验差检验法

后验差检验其检验步骤是：

(1) 计算原始序列均值及均方差分别为：

(0)(0)2(x(k)x(t))k1n1n(0)xx(k), S1nk1n1

(2) 计算残差均值及均方差分别为：

(0)(k)1(0)(k), S2nk1S2 S1n(k1n(0)(k)(0)(t)2)n1 (3) 计算后验差比值：C(4) pP((k)0.6745S1)称为小误差概率。 (5) 确定模型级别，指标如表： 模型精度等级 I II III IV 小误差概率P 后验差比C 0.95 0.8 0.7 0.7 0.35 0.5 0.65 0.65 等级说明: C值越小越好，即S1较S0小得多，表示原始数据离散大，而预测误差离散性小，则预测精度高；P越大越好，即小误差的概率大，直接表示拟合精度较高。

若残差检验、后验差检验都能通过，则可以用其模型进行预测，否则进行残差修正。 3．2．2灰色Verhulst模型

Verhulst模型主要用于描述具有饱和状态的过程，即S型过程(在一定条件下，生物种群增长并不是按几何级数无限增长的。即开始增长速度快，随后速度慢直至停止增长，这种增长曲线大致呈\"S\"型)。1837年，荷兰数学生物学家Verhulst研究生物繁殖规律时提出了Verhulst模型。这一模型用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命等。 定义3．2．2设X值生成序列，称

(0)为原始数据序列，X(1)为X(0)的一阶累加序列，Z(1)为X(1)的紧邻均

x(0)(k)az(1)(k)b(z(1)(k))a

为GM(1,1)幂模型。

令Bz(1)(2)(z(1)(2))az(1)(3)(z(1)(3))az(1)(n)(z(1)(n))a, Yx(0)(2)x(0)(3)x(0)(n)

ˆa,b的最小乘估计为aˆ(BTB)1BTY 则GM(1,1)幂模型参数列a当a2时，称

Tx(0)(k)az(1)(k)b(z(1)(k))2

为灰色Verhulst模型。

灰色Verhulst模型的白化方程为

dx(1)ax(1)b(x(1))2 dt则

ax(1)(0)x(t)(1)为白化方程的解。 (1)atbx(0)abx(0)e(1)灰色Verhulst模型的时间响应方程为

ax(1)(0)ˆ(k1)(1)x (1)akbx(0)abx(0)e(1)(1)由灰色Verhuls方程的解可以看出，当t时，若a0，则x(t)0；若a0，则

x(1)(t)a(1)(1)，即有充分大的t，对任意kt，x(k1)与x(k)充分接近，则b(1)))x(0(k1)x(1(k1)x0，系统趋于死亡。 (k)，0灰色Verhulst模型检验和下面的离散灰色模型同GM(1,1)模型检验的步骤是相同的，若残差检验、后验差检验都能通过，则可以用其模型进行预测。 3．2．3离散灰色模型 定义3．2．3设X(0)为原始数据序列，X(1)为X(0)的的一阶累加序列，称

x(1)(k1)1x(1)(k)2

为离散灰色模型。

x(1)(1)(1)(1)x(2)1x(2)Tˆ,为为参数列且BY若， 12x(1)(n)1x(1)(n)x(1)(1)1ˆ,(BTB)1BTY 则离散模型的最小二乘估计参数列满足12取x(1)(1)x(0)(1)，有

11kˆ(k1)x(1)x2， k1,2,3,,n1

11k1(0)得到还原值为

ˆ(0)(k1)xˆ(1)(k1)xˆ(1)(k)， k1,2,3,,n1 x离散灰色模型解释了GM(1,1)模型从离散形式到连续形式转变问题，为此提供了理论基础。用离散灰色模型做纯指数增长序列数据进行模拟时，解决了预测稳定性问题。 3．3．1基于GM(1,1)模型深圳市人口数量的预测

一、模型的建立

选取1979—2007年以来的人口数据作为原始数据，2008年、2009年和2010 年留作拟合精度比较。 （1）原始序列为：

x(0)(t)(31.41,33.29,36.69,44.95,59.52,74.13,88.15,93.56,105.44,120.14,141.6,167.78,226.76,268.02,335.97,412.71,449.15,482.,527.75,580.33 ,632.56,701.24,724.57,746.62,778.27,800.8,827.75,871.1) (2)对原始序列进行一阶累加得：

x(1)(t)(.7,101.39,146.34,205.86,279.99,368.14,461.7,567.14,687.28,828.88,996.66,1223.42,1491.44,1827.41,2240.12,26.27,3172.16,3699.91,4280.24,4912.8,5614.04,6338.61,7085.23,7863.5,86.3,9492.05,10363.15,11275.52)(1)(1)Y(1)(t)0.5X(t)X(t1)(136.38,203.805,293.085,404.28,536.505,676.845,835.005,1015.215,1227.615,1479.285,1819.425,2221.455,2725.41,3344.475,4018.2,4742.535,5534.16,04.655,7353.495,8405.355,9492.21,10627.845,11779.5,12980.745,14222.37,15529.02,16913.28)令

136.38101.39203.805146.34， Yn B16913.2811275.52用最小二乘法求解：

故湖南省人口数量GM(1，1)模型方程为：

GM(1，1)时间响应序列为

还原值方程为：

二、统计检验：

平均相对误差(%)：q10.345%

精度：1q110.003450.9965599.655%99% 原始标准差：S1205.7118 残差标准差：S225.09638 后验检验：CS20.12199770.35 S1小误差概率：：pP((k))0.6745S1138.7526)10.95

以上分析看，17个年份的相对误差在0~0．6％之间，均小于5％，精度99．655％>99％，后验差比值C=O．1219977<0．35，小误差概率为一级。综合评定，对于给定的兹、P、C取值，检验模型的模拟精度为一级水平，故可以用GM(1，1)模型预测。

2．2．1．2基本测算公式 l、医院床位的测算：

医院病床需求量=人口数×实际住院率X平均住院日 年平均床开放目数 指标说I!fj：

(1)人口数来源于吐鲁番统计年鉴(2001年)。”1： (2)实际住院率来源于卫生服务调查数据。„：

(3)印5F均床开放日数=365(天)×病床使用率，当病床使用率为85％时，则 平均每张病床的年开放日数=365*85％=310．25：

(4)平均住院日按地州市、县级市、农村的不同规定进行计算。 1．2供需评价法

影响床位数的因素多而复杂，如人口数、人口年龄结构、经济水平、人均收入水平、居民健康状况、居民卫生服务需求、卫生服务利用、卫生服务能力等。其中，居民健康状况、卫生服务需求和利用是综合性指标，代表着医疗卫生服务的工作量，从而决定着床位的客观需要量。本研究利用卫生服务调查中居民健康状况、居民卫生服务需要(需求)与利用以及卫生统计年鉴中卫生服务利用效率等数据，对我国床位的需要(需求)量进行测算，然后与实际床位供给数进行比较，求出供需比值，进行供需评价。此法具有以下的优点：①按照我国居民的实际需要(需求)量来测算床位需要(需求)量，科学性和实用性较好：②方法简单可行，可操作性强：③结果是定量的而非定性的，在床位资源供需平衡状态评价方面，提供了一个客观的量化标准，为总量控制提供依据。但是，本法仅限于总量评价，而无法对各级各类 医院床位的供需平衡状况进行评价。 4．提高病床利用效率

要彻底改变过去那种重规模，轻效益，外延式发展的概念，注重提高床位的利用效率。医院可根据各病房的床位利用情况、疾病的季节变化以及病人的医疗需求，灵活调整病区间的床位结构，及时将未充分利用的床位调至床位紧张的病房，以提高病床使用率。对于缩短平均住院日，可以采取以下的措施：加强院的标准化管理，按病种把平均住院日规定在允许的范围内；应加强病房的管理以及病房与门诊、病房与医技科室间的配合、协调工作，减少术前等候时间并及时动员慢性病人、康复病人出院修养。此外，还可以将某些医院发展为中间医疗服务机构，收住急性治疗期后的康复病人等。