(完整版)均值不等式测试题(含详解)

一、选择题

1．已知a、b∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（ ）

Ａ．a2+b2 Ｂ．２ab Ｃ．2ab Ｄ．a+b 2．x∈R，下列不等式恒成立的是（ ）

1A．x2+1≥x B．2<1 C．lg(x2+1)≥lg(2x) D．x2+4>4x

x13．已知x+3y-1=0，则关于2x8y的说法正确的是（ ）

Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x，y，m，n满足x2+y2=1，m2+n2=3那么mx+ny的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）

11

Ａ．（a+b）()≥4 Ｂ．a3+b3≥2ab2

abＣ．a2+b2+2≥2a+2b Ｄ．abab 6．下列结论正确的是（ ） A．当x>0且x≠1时，lgx+C．当x≥2时，x＋

11≥2 B．当x>0时，x+≥2 lgxx10 211 ≥2 D．当00且a(a+b+c)+bc=423，则2a+b+c的最小值为（ ） A．31 B．31 C．232 D．232 二．填空题：

8．设x>0，则函数y=2－

4－x的最大值为 ；此时x的值是 。 x9．若x>1，则log2x＋logx2的最小值为 ；此时x的值是 。

x2x410．函数y=在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________．

x1x211．函数f(x)=4(x≠0)的最大值是 ；此时的x值为

x2_______________．

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三．解答题：

12．函数y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0

11上，其中mn>0，求的最小值为。

mn

13．某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为多少吨？

14．已知x,y∈（－3，3）且xy＝－1，求s=

312的最小值。 223x12y- 2 -

参考答案

选择题：

1．D解析：只需比较a2+b2与a+b。由于a、b∈（0，1），∴a23．B解析：28＝22xyx3y222x3y2x3y2＝22

4。A解法一：设x=sinα，y=cosα，m=3sinβ，n=3cosβ，其中α，β∈∈（0°，180°）其他略。 解法二、m2+n2=3(mx+ny≤3。

5．B解析：

A、C由均值不等式易知成立；D中，若am3)2(n3)2＝1∴2＝x2+y2＋(m3)2(n3)2 ≥

23(mxny)∴

abababa2abb2b2ab2b(ba)0这显然也成立。取a=0.1，b=0.01，可验证B不成立。 6．B解析：

A中lgx不一定为正；C中等号不成立；D中函数为增函数，闭区间上有最值。故选B。 7．D

解析：(2a+b+c)2=4a2+(b2+c2)+4ab+4ac+2bc≥4a2+2bc+4ab+4ac+2bc

=4(a2+bc+ac+ab)=4[a(a+b+c)+bc]=4(423)＝4（31）2当且仅当b=c时等号成立。∴最小值为232。 二．填空题： 8．－2，2 9．2，2

x2x44410 。解析：y=＝x＝(x1)1≥5，当且仅当x=3时等号

x1x1x1成立。

112x211。解析：f(x)=4＝，此时x＝42。 24x2x2222x三．解答题：

12．解析：∵y=logax恒过定点（1，0），∴y=loga(x+3)－1恒过定点（－2，－1），

1111n4m∴-2m-n+1=0，即2m＋n＝1，∴＝（）（2m＋n）＝2＋2＋≥8，

mnmnmn∴最小值为8。

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13．解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y，则y＝160，当且仅当x=20时等号成立。最小值为160。 14．解析：s=

1400160044x24xxx363122≥＝12223x212y2(3x)912y)12。评注：两次等号成立的条件都一样。 1≥2237(12x3y)12

372365- 4 -