概率论论文

作者：0901103班 郐士超 1090110305

经过一学期的概率论与数理统计的学习，我收获了很多。 首先，我对概率论与数理统计这门学科有了一定的了解。

从随机现象说起 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。 另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。随机现象是十分普遍的。

随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。

实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。

我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论与数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。从概率论与数理统计的相关知识，我们可以知道概率论与数理统计是一门十分重要和实用的学科。

其次，我对概率论与数理统计的知识做了一下总结。 一，事件的运算

如果A，B，C为三事件，则A+B+C为至少一次发生,

ABC为至少一次不发生,

AB+BC+AC和ABC发生.

ABCABCABC都是至少两次发生, ABCABCABC为恰有两次

ABCABCABC为恰有一次发生, 等等。

二, 加法法则与乘法法则

如A与B互不相容, 则P(A+B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)P(B|A)

而对于任给的A与B有

P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) (1)

因此, P(A+B),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来.

而P(AB)=P(A)P(B|A), 因此P(A+B),P(A),P(B),P(B|A)只要知道三个, 剩下的一个就能够求出来.

P(AB)P(A)P(AB)是常用式子

三, 全概率公式和贝叶斯公式 及

设A1,A2,„,构成完备事件组, 则任给事件B有

P(B)P(Ai)P(B|Ai) (全概率公式),

iP(Am|B)P(Am)P(B|Am),(m1,2,...)(贝叶斯公式)

P(Ai)P(B|Ai)i其中, 最常用的完备事件组, 就是一个事件A与它的逆A, 即任给事件A,B有

P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

P(A|B)P(A)P(B|A)

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

四, 随机变量及分布

1. 离散型随机变量

一元: P(ξ=xk)=pk (k=1,2,„), 性质:

pkk1

二元: P{ξ=xk, η=yj)=pij (i,j=1,2,„) 边缘分布与联合分布的关系:

P{xi)pijpi(1)jP{yj)pijpi(2)j

2. 连续型随机变量

b~(x), P(ab)(x)dx, 性质:(x)dx1

ax分布函数为F(x)P(x)(t)dt, 且有F(x)(x)

五, 随机变量的数字特征

数学期望:

离散型: Exkpkk1



连续型: Ex(x)dx

性质: E(+)=E+, E()=EE 方差:

22xkpkk1

离散型: 先计算E, 则DE2(E)2



连续型: 先计算E2222则DE(E) x(x)dx,

性质: 如,相互独立, 则D(+)=D+D, D()=D+D 协方差和相关系数:

计算两个随机变量和的协方差cov(,)和相关系数的关键是计算(, 离散型: E()xiyjpijij

则cov(,)=E(E()E()

cov(,)DDX

的可能值在区间(a,b)上，是否有DX常见问题：若随机变量 答 设

baX为连续型随机变量，概率密度为

[(ba)/2]2？

f(x)，在(a,b)外有f(x)0，则

EXxf(x)dxm. 又对任一常数c，有

E(Xc)2E[(Xm)(cm)]2DX(cm)2

ab2从而有DXE(Xc)，若取c故上式成立即

2DXE[X(ba)/2]2[x(ba)/2]2f(x)dx

abbaba [b(ba)/2]f(x)dx[b(ba)/2]222f(x)dx

[(ba)/2]

六, 几种常用的分布

二项分布

ξ~B(n,p)是指P{kkk}Cnp(1p)nk.

它描述了伯努里独立试验概型中, 事件A发生k次的概率. 试验可以同时进行, 也可以依次进行. 超几何分布

将N个元素分为N1个和N2个两类, N1+N2=N, 从中任取n个, 其中N1个元素的个数是一随机变量, 服

从超几何分布, 且有

knkCNCN12

P(k)普阿松分布

CnN

服从普阿松分布, 是指其概率函数为

P(k)

正态分布

kk!e,k0,1,2,

服从正态分布, 即~(x)服从标准正态分布~N(,)

12e(x)222, 记作~N(,).

2

性质: 如果~N(,), 则a+b~N(b, a) 指数分布

2

1xe服从指数分布, 即~(x)0它的分布函数为F(x)x0x0

0x1ex0x0

常见问题：经验分布函数是否就是分布函数？ 答 经验分布函数是顺序统计量

*** X1X2Xn的函数

0, xX1***Fn*(x)k/n, xkxXk1, k1,2,,n1,

*1, xXn它既是实数x的函数，又是顺序统计量

**的函数. X1*,X2,,Xn 当样本取定一组样本组时，它是一个分布函数，满足分布函数的所有性质. 当x取定后，Fn值依赖于抽样结果，即是样本的函数.

事实上，经验分布函数在取定一组样本值时，可视为一个概率分布为

*(x)的

*PXk1/n, k1,2,,n

的离散型随机变量的分布函数.

当样本容量充分大时，可以用经验分布函数Fn出

*(x)代替总体分布函数. 格里文科（Glivenko）定理给

Plimsup|Fn*(x)F(x)|01.

nx一般n50，最好n100.

七, 统计量

假设是总体, E=, D=, 而(X1,„,Xn)是取自总体的样本, 则

2

EXi=, DXi=2 (i=1,„,n)

1n样本均值XXini1样本标准差S1n, 样本方差S(XiX)2n1i12

1n(XiX)2n1i1

EX,DX2n

常见问题：对两个正态总体期望的检验，当方差未知且不相同时，应怎样进行？

答 这时，可以先用F检验对两个总体的方差是否相等进行检验. 如果结果是方差相等，则可用方差未知而相等的t检验法，对期望是否相同进行检验. 为了使等方差建立在可信的基础上，显著性水平可取得大一些，从而使方差不等而错判为方差相等的错误概率小一些.

最后，我学会了运用概率论与数理统计的知识解决一些问题。 一． 基础题

1.设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.

解 设A‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则

2C7(262) P(A)0.01107. 672．三个箱子，第一个箱子中有 有

个黑球

个黑球 个白球，第二个箱子中有 个黑球

个白球，第三个箱子

个白球，现在随机的取一个箱子，在从这个箱子中取一个球，问；

⑴ 这个球是白球的概率？

⑵ 已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的概率？

解 设

﹛从第 个箱子中取到白球﹜

﹛取到白球﹜

⑴ 由全概率公式可得

⑵ 由贝叶斯公式可得

3．假使有两箱同种零件：第一箱内装 件，第二箱内装 件，其中

件一等品，现在从两箱中随

意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取回的零件不放回），求： ⑴ 先取的零件是一等品的概率

？

？

⑵ 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的条件概率

解 设

﹛被挑出的是第 箱﹜

﹛第 次取出的零件是一等品﹜

则 ，

,

⑴

⑵ 由全概率公式可得

4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则

4P12610 P(A)0.504 4102505．设甲乙两袋，甲袋中装有

个白球， 个红球，乙袋中装有 个白球，

从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率？

个红球，现在

[解答] 设

﹛从甲袋中取到白球﹜

﹛从甲袋中取到红球﹜

﹛从乙袋中取到白球﹜

则

6．设有来自三个地区的各

份和

名， 名和 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为

份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，

？

？

份，

⑴ 求先抽到的一份中是女生表的概率

⑵ 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率

解 设

﹛报名表是 区考生的﹜

﹛第

次取到的报名表是男生的﹜

则 ；

, ,

⑴

⑵ 由全概率公式可得

于是

7． 架长机和

架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，非有无线电导航不可，而只有

，在到达

，求目标被炸毁的概率.

长机具有此项设备，一旦到达目的地，各机将独立的进行轰炸，且炸毁目的地的概率均为 目的地之前，必须经过高射炮阵地上空，此时任一机被击落的概率为 解

｛目标被炸｝

｛长机到达目的地｝

｛长机与一架僚机到达目的地｝

｛长机与两架僚机到达目的地｝

表示长机到达

表示一架僚机到达

表示另一架僚机到达

二．填空题

1．设随机变量

～

，

～

，若

，则

＿

[解答] ，可得

则

2． 已知随机变量

只能取

四个数，其相应的概率依次为

，则

＿

[解答] 由

，可得

，解得

3．设

在

上服从均匀分布，则方程

有实根的概率为＿

[解答]

{方程有实根}

4．设平面区域

由曲线

及直线关于

的边缘密度在

所围成，二维随机变量处的值为＿

在

上服从均匀分布，则

[解答] 区域 的面积为

，由题意可得

的概率密度为

则

关于 的边缘密度在

处的值为

三．证明题

1．设 从参数为

是相互独立的随机变量，他们分别服从参数为

的泊松分布.

的泊松分布，证明：

服

证明： 因为

，

于是

=

即

服从参数为

的泊松分布.

2．设

是分布函数，证明：对于任意

，函数

也是分布函数.

证明：作积分变换

，则

⑴ 是分布函数，于是

即

⑵ 是分布函数，对于任意

，有

所以

是递增函数.

⑶ 是分布函数，所以对

，当

时，

，于是

由

任意性知

，即

右连续.

⑷ 因为

所以对

，当

时，

，当

时，

，

于是当

时

由

任意性可知

当

时

由

任意性可知

综上，

是分布函数.

3.设

nX1,X2,,Xn是来自总体

X的一个样本，

X服从参数为

的指数分布，证明

2Xi~2(n2. )i1 [证]

X1,X2,,Xn独立同分布，

的分布函数为FYXi~E()，今先证

2Xi~2(2),i1,2,,n. 设Y2Xi(y)则

y2y)1e,y0 FY(y)P(Yy)P(2Xiy)P(Xi20,y0所以Y的密度为

yy1e2,y0,e2,y0, fY(y)220,y0.0,y0;注意到(1)1，则Y的概率密度为

2y11y2e2,2fY(y)22(2)20,y0

y0.可见2Xi2~2(2).

由分布的可加性立即得到

2Xi1ni~2(2n).

四．计算题

1．随机变量

的分布密度为

求： ⑴ 常数

. ⑵ ⑶ 分布函数

.

解 ⑴ 由

的性质可得

即

⑵

⑶

当

时，

当

时，

当

时，

所以

的分布函数为

2．设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差

具有分布密度函数

求： ⑴ 测量误差的绝对值不超过

的概率.

的概率.

⑵ 接连测量三次，每次测量是相互独立进行的，则至少有一次误差的绝对值不超过

解 ⑴ 由题意可得

～

，则

⑵ ～

则

3．设电子元件的寿命

具有密度为

问在 小时内， ⑴ 三只元件中没有一只损坏的概率是多少？ ⑵ 三只元件中全损坏的概率是多少？ ⑶ 只有一只元件损坏的概率是多少？

解 以

表示第 只电子元件的寿命，以

表示事件“在使用

小时内，

第 只电子元件损坏”，则

⑴

⑵

⑶

4．某射手独立重复地进行20次打靶试验，击中靶子的环数如下：

环数 频数 用

10 2 9 3 8 0 7 9 6 4 5 0 4 2 X表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求

X的经验分布函数，并画出其图像。

解 设X的经验分布函数为Fn(x)则

0,2,202,206,20 Fn(x)15,2015,2018,201,5．设 表

服从参数为

x4,4x5,5x6,6x7,

1 0.75 0.5 0.3 0.1 7x8,8x9,9x10,x10.的

0 4 5 6 7 8 9 10

分布，在

下，关于 的条件分布为表

，

所示

求

的联合概率分布，以及在 时，关于

的条件分布.

解 由题意可知

，

，所以

又

所以

的联合概率分布为 在 时，关于

的条件分布为

6．设随机变量

相互独立，并在

上服从均匀分布，求随机变量

的分布密度.

[解答] 由题意可得

由于

相互独立，故

的联合分布密度函数为

⑴ 当

时，

，所以

⑵ 当

时，

，所以

⑶ 当

时，

，所以

所以

7．设

相互独立，分布密度分别为

求随机变量

的分布密度.

[解答] 由于

相互独立，故

的联合分布密度函数为

则 的分布函数为

当

时，

当

时，

所以

的分布密度为

，即

8．假设随机变量 服从参数为

的指数分布，随机变量

⑴ 求

和

联合概率分布； ⑵ 求

解 随机变量 服从参数为

的指数分布，则由题意可得

⑵

9．从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55. 问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？（2； :28000.05，熔化时间服从正态分布）. 22 解 X62.4，S121.82,n10, 问题是检验假设H0:80.

（1）H0 （2）选统计量并计算其值

29121.8213.705 20802 （3）对于给定的0.05，查分布表得临界值

2(n1)S2 (n1)0.05(9)16.919. （4）因

22，故接受H0，即可以认为方差不大于80。 13.70516.9190.0522