(完整版)线性代数模拟试题一

线性代数模拟试题一

一、填空题（每小题2分，共50分）

1．若Dnaija,则Dnaij (1) ；

2x2．在函数fxx1x21x中x3的系数是 (2) x1x12x2x32,3．对于方程2x1x23x31,，其系数矩阵A= (3) ；

xxx0.1234．排列nn1n2321的逆序数等于 (4) ；

5．n阶行列式共有 （5） 项，正负号由 （6） 决定. 6．对于行列式|A|，当i=j，时，

ak1nkiAkj （7） .

7．用克拉默法则解方程组的两个条件：系数行列式不等于0和 （8） .

8．若n元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r，则当 （9） 时，方程组有无穷多解．

9．矩阵与行列式有本质的区别，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是 （10） ，它的行数和列数可以不同.

10．只有当 （11） 时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律. 11．若A方阵可逆，则|A|= （12） .

-1

A112．对于分块对角阵AA2，|A|= （13） . As13．矩阵等价具有的三个性质为： 反身性 、 （14） 、 传递性 . 14. 矩阵的初等行变换包括 （15） 、rik、 （16） 三种.

15．把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，非0行的行数就是矩阵的秩，可逆矩阵的秩等于 （17） ，故可逆矩阵又称为满秩矩阵 .

16．奇次线性方程组Ax=0，当 （18） 只有0解，非奇次线性方程组Ax=b，当 （19） 有唯一解，当 （20） 没解.

17．用m阶初等矩阵Em(i(k))左乘矩阵A=(aij)mxn，相当于对A实施 （21） 变换. 18．x(x1,x2,,xn)a1x1a2x2anxnb称为叫做n维向量空间中 （22） . 19．向量组只包含一个向量a时，当 （23） 时该向量组线性相关. 20．矩阵的秩与向量组的秩的关系为： （24） .

Tword精品文档,可编辑,欢迎下载

21．要证明某一向量组是方程组AX=0的基础解系，需要证明三个结论:（a）该组向量都是方程组的解、（b） （25） 、（c）方程组的任何一个解都可以由该向量组线性表示. 二、计算题（每小题10分，共30分）

x1．计算行列式的值Dn1a1xa2a2a2a2xa3a3a3a3a4ananan. xa1a1a121012. 2．求下述矩阵的逆矩阵A11111013．研究下列向量组的线性相关性12,22,30.

352三、证明题（第1题10分，第2题10分） 1．用数学归纳法证明

1x1x12Dnx1n2x1n1x22x2n2x2nx21x32x3n2x3nx31xn2xnx1x2xnxixj,n2

1jinn2xnnxn2. 设是非齐次线性方程组AXB的一个解,1,,nr是对应奇次方程组 AX0的一个基础 解系.证明: (1),1,,nr线性无关; (2),1,,nr是方程组AXB的nr1个线性无关的解. (3)方程组AXB的任一解X,都可以表示为这nr1个解的线性组合, 而且组合系数之和为1.

参考答案

一、填空题（每小题2分，共50分）

(1)(1)na; (2)-2;

1(3)221113; 11word精品文档,可编辑,欢迎下载

(4)

nn1; 2(5)n!;

(6) 下标排列的逆序数; (7) |A|;

(8)方程组中未知数个数与方程个数相等； (9)rn； (10)数表；

(11) 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时； (12) A； (13)A1A2As； (14)对称性； (15)rirj； (16) rikrj； (17)阶数； (18) RAn； (19) RAR(B)n； (20)RAR(B)；

(21) 第二种初等行变换rik； (22)超平面； (23) 0； (24)相等；

(25)向量组线性无关；

二、计算题（每小题10分，共30分）

1

x1．计算行列式的值Dn1a1xa2a2a2a2xa3a3a3a3a4ananan. xa1a1a1解：将第2,3,,n1列都加到第一列，得：

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xaixaii1ni1ni1naa12aaanxa22nDn1xaixaii1nax

naa23x提取第一列的公因子，得：

11n)1aDn1(xii11aaxaax12223aa2aaa.

nnnx将第1列的(a1)倍加到第2列，将第1列的(a２)倍加到第3列，,将第1列的(an)倍加到最后一列，得110a1002Dn1(xai)1i11nxaaxa21000 ana2a1na3a2x(xai)(xai).

i1i1n21012. 2．求下述矩阵的逆矩阵A1111解：作分块矩阵(AE),施行初等行变换.

021100rr112010rr1120101231112010~021100~021100 111001111001001011112010(2)110012r2r3r3r1020111020111~ ~0010110010111110012(1)100123252r22r2r1010121212010121212~ ~001000111011word精品文档,可编辑,欢迎下载

123252A1121212.

0111013．研究下列向量组的线性相关性12,22,30.

3521010解1：令k11k22k330,即k12k22k300

3520k30,k1整理得到2k12k20,3520.k1k2k3()

101线性方程组()的系数行列式2200,线性方程组()必有非零解,从而

3521,2,3线性相关.0110110, 解2：12,22,30,矩阵A(1,2,3)22352352011101初等行变换A220~022R(A)23,故向量组1,2,3线性相关.

352000

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