浅谈高师高等几何课程及其教与学

第２８卷　湖北师范学院学报（自然科学版）　Ｖｏ１．２８　第２期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｂｅｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｎｏ．２，２００８　浅谈高师高等几何课程及其教与学　黄振华　（湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石４３５００２）　摘要：论述了高等几何在师范类数学专业课程结构中的基础地位，并以教学实践探索教与学的互动和统　一。　关键词：高等几何；思维能力；数学素养　中图分类号：０１８５．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９－２７１４（２００８）０２—０１００－０４　高等几何是师范院校数学专业的基础课程，其中包含着重要的数学思想，它是大学数学类专业课　程体系中较抽象、也是较难教、难学的课程之一，它又在中学数学教学中起着无可替代的作用。因此　如何通过一些适当的方法降低课程的难度从而顺利地完成教学，使学生学好高等几何是十分重要　的。　１　高等几何在数学教育类专业课程中的基础地位不能动摇　高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，它不仅科学地论述了高等几何知识，更贯穿　了大量现代数学的思想、观点和方法，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等　几何的一些方法，对学生日后所从事的中学数学特别是初等几何的教学，有具体的指导意义。几何的　公理化思想、演绎推理的方法又为其它学科的发展提供了典范。尤其是几何作为数学教育任务的重　要组成部分，在对人的规范化训练、逻辑思维能力的培养等方面的优势是其它学科不能比拟的。因　此，数学工作者普遍认为，几何必须以适当的方式贯穿于整个数学课程体系中。高等几何发展过程中　形成的最富特色的部分，在高师数学教育专业课程结构中处于基础地位，这是不容置疑的。　首先，高师数学教育专业的培养目标是德智体美高素质、高质量的合格的中学数学教师。必须具　备较高层次的几何知识和几何修养，这不仅仅是因为在中学数学教育中几何的相关理论知识和方法　贯穿始末，更重要的是几何知识作为人类智慧的结晶，为人类更好地认识自己和认识宇宙开拓了更为　广阔的视野，并提供了一种有效的工具，是未来的人民教师形成良好的教师素质的必备知识。而高等　几何中一些重要概念的引进、重要思想的形成、处理问题的方法为学生认知水平的提高，数学素养的　完善奠定了基础。　其次，高等几何蕴涵着丰富的现代数学思想、观点和方法，它不仅研究空间广泛，研究方法独特，　富有辩证哲理，对丰富学生的几何知识、提高学生的数学素养及今后的从师能力具有重要的作用，为　学生在日后工作中理论联系实际，运用高等几何高观点去分析和处理中学数学教材与初等数学问题，　改进教学方法，开展科研，保持工作后劲而打下坚实的基础。因而在高等几何课程教学中，必须坚持　其在数学教育类专业课程中的基础地位。　收稿日期：２ｏ０７—１Ｏ—Ｏ５　作者简介：黄振华（１９６Ｏ一），男，湖北黄石人，副高　・１ｏｏ・　、　维普资讯 http://www.cqvip.com ２高等几何的教与学　教与学是师生双方的互动，是教学过程的两个方面，是紧密相联、互相促进的。古人云：“学然后　知不足，教然后知困”，“教学相长”。在教学过程中，师生都是“一半在学、一半在教”，教师要把“学　会教学”与“教会学习”统一起来。在教学过程中，例题是重要的一个环节，教师必须把握课堂，使教　与学达到完美的互动和统一。　２．１线性代数是高等几何的必备知识　高等几何研究问题的主要方法有解析法。通过建立坐标系，使几何中的元素（点或直线）与有序　数组对应，使几何的空间问题与方程相对应，使几何元素之间的变换与代数变量的线性变换相对应，　等等。这样可将几何问题转化为代数问题，用解析法进行研究。　ｒｐ　１＝４　１一　２　例１求射影变换｛【　　＝６ｘ　一３ｘ　的不变元素。　，，：　一　一　，　ｒ（４一Ａ）　１一　２＝０　（，●●Ｉ●Ｊｆ１●●【　１　　（　解设射影变换的不变点坐标为（　，　，　，）则有｛６ｘ　一（３＋Ａ）　＝０　Ｉｘ１一　２一（１＋Ａ）　３＝０　４　１　一　卜　＋　由于　，　，　，不全为零，所以有ｌｌ　６　—３一Ａ　０　ｌ＝０　１　—１　—１一Ａ　ｌ　由此得Ａ１＝一１，Ａ２＝一２，Ａ３＝３，　ｒ）　，一　１＝Ｕ　Ｉ　４一Ａ　一１　０　Ｉ　Ａ　＋　＋）６　２　，　＝　Ｏ　３　＝　ｏ　当Ａ１＝一１时｛　当Ａ２＝一２时｛　当Ａ３＝３时｛　ｉｘ１—　２　Ｕ　解得　１：　２：　３＝０：０：１，　解得　１：　２：　３＝１：６：５　ｒＯ　，一　１＝Ｕ　ｉｘ１—　２＋　３　Ｕ　＝０　ｒ　．一　【　１一　，＋４ｘ１＝０　解得　１：　２：　３＝１：１：０　所以不变点的坐标为（０，０，１），（１，６，５），（１，１，０）．　设射影变换的不变直线坐标为［／２，　，／２，　，／２，，］，则有　ｌ　４一Ａ　６＋Ａ　由于Ｍ　，Ｍ　，Ｍ，不全为零，所以有　ｌ　１　３　ｌ　０　０　由此得Ａ１＝一１，Ａ２＝一２，Ａ３＝３，　当Ａ　：一１时Ｊ．５Ｍ　＋６Ｍ　＋Ｍ，＝０解得Ｍ　：Ｍ　：Ｍ，：１：（一１）：１，　‘　【Ｍ１＋２ｕ２＋Ｍ３＝０　‘　当Ａ　：一２时ｆＭ１＋：　＋Ｍ３　ｕ解得Ｍ　：Ｍ　：Ｍ，：１：（一１）：０，　当Ａ，＝３时｛４　：０　解得／２＇１＂Ｍ　：Ｍ，＝６：（一　）：０，　・所以不变直线坐标为［１，一１，１］，［１，一１，０］，［６，一１，０］，　其方程分另ＩＪ为　１一　，＋　１＝０，　１一　，＝０，６ｘ１一　，＝０．　１０１－　维普资讯 http://www.cqvip.com ２．２以定理应用的灵活性促进思维能力的提高　从数学的角度来看，高等几何等传统几何在师范教学中用来培养和发展学生的逻辑思维能力，其　逻辑的严谨性仍然豪不逊色，并且有其直观性与变化多样性。同时，传统几何不单有逻辑思维，更有　丰富的形象思维，它既是抽象思维的源泉，又是抽象的思维发展和体现的形式，正是由于传统几何的　上述特点，因而以定理的灵活应用来促进思维能力的提高不仅可以实现，而且思维能力的提高又能为　灵活应用定理解决实际问题打下坚实基础，也就是说定理应用的灵活性与促进思维能力的提高是相　互的。因此，在高等几何教学中必须把握这一重点环节。　例２　求证：ＡＡＢＣ的外心０、垂心Ｅ、重心Ｄ三点共线。　证明如图１：设Ｆ、Ｇ分别为ＢＣ、ＣＡ边上的中点，连结　ＯＦ、ＦＧ、ＧＯ、ＡＥ、ＥＢ，在两个三角形ＡＢＥ与ＦＧＯ中，三对对　应边　ＡＥ／／ＯＦ（平面内垂直于同一直线的两直线平行）　ＢＥ／／ＯＧ（平面内垂直于同一直线的两直线平行）　ＡＢ／／ＦＧ（三角形的中位线平行于第三边）　即三角形ＡＢＥ和ＦＧＯ的对应边的交点均为无穷远点，从而都ｅ　在无穷远直线上，所以由Ｄｅｓａｒｇｕｅｓ定理的逆定理知：两个三角　形的对应顶点连线ＡＦ、ＢＧ、ＥＯ共点。　ＡＦ　ｎＢＧ＝Ｄ与Ｅ、０三点共线。　‘．．图１例２图　例３四边形ＡＢＣＤ的四边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ分别与一圆切于Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ．求证：１）ＡＣ，ＢＨ，ＤＥ　共点；２）ＢＧ，ＤＦ，ＡＣ共点；３）ＡＣ，ＢＤ，朋，ＥＧ共点（如图２）。　证明　由布利安桑定理：设一简单六线形外切于一条非退化的二次曲线，则它的三对对顶点的连　线共点。　１）设外切简单六线形为ＡＨＤＣＢＥ，令六线Ａｌｌ＝＝１，ＨＤ－－２，ＤＣ－－３，ＣＢ－－４，ＢＥ　ｓ５，ＥＡ－－６，则三　对对顶点的连线ＡＣ＝（３４×６１），ＢＨ＝（１２×４５），ＤＥ＝（２３×５６）共点Ｐ．　２）设外切简单六线形为ＤＧＣＦＢＡ，令ＤＧ－－１，ＣＧ－２，ＣＦ－－３，ＦＢ薹４，ＢＡ－－５，ＡＤ－－６，则三对对　顶点的连线ＢＧ＝（１２×４５），ＤＦ＝（３４×６１），ＡＣ＝（２３×５６）共点Ｒ．　３）设外切简单六线形为ＡＥＢＣＧＤ令ＡＥ；１，ＥＢ－－２，ＢＣ－－３，ＣＧ－４，ＧＤ－－５，ＤＡ－－６，则三对对　顶点的连线（１２×４５）＝ＥＣ，（２３×５６）＝ＢＤ，（３４×６１）＝ＡＣ共点Ｑ或ＥＧ通过Ｑ＝（ＡＣ×ＢＤ）．　再由外切简单六线形ＡＨＤＣＦＢ，令ＡＨ－－１，ＨＤ－－２，ＤＣ－－３，ＣＦ－－４，ＦＢ－－５，ＢＡ－－６。则三对对顶点　的连线（１２　ｘ４５）＝ＨＦ，（２３×５６）＝ＤＢ，（３４×６１）＝ＡＣ共点。即ＨＦ通过Ｑ＝（ＡＣ×ＢＤ）．　综合得：ＡＣ，ＢＤ，ＨＦ，ＥＧ共点Ｑ．　２．３　一题多解。激发学习兴趣。提高数学素养　面对一道数学题，应该让学生从不同的角度，多层次地　对问题及问题的解决进行全面的考察、分析和思考。从而　Ｄ　深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，探索解　决问题的一般规律，教学中让学生尽可能地寻找多种方法　加以解决。这样就不致盲目依赖书本，从而培养学生　思考的习惯，激发学生的学习兴趣，发挥他们的主观能动性　与创造性，提高数学素养。　例４已知直线ｚ　，ｚ：，ｚ，，ｆ４的方程依次为２　一，，＋１＝０，　３　＋，，一２＝０，７ｘ一，，＝０，５ｘ一１＝０．１）求证它们共点，２）并　求交比（ｚ　ｚ：，ｚ，ｚ　）的值。　图２例３图　Ｇ　Ｃ　・１０２・　维普资讯 http://www.cqvip.com ２　—１　３　１　１　—２　Ｏ　＝２　—１　０，　３　５　１　Ｏ　１　—２　＝Ｏ故四线共点。　一１　７　—１　证二由ｆ３’ｚ　的方程组成方程组｛５７　Ｘ－一；三　得ｆ３’ｚ　的交点为Ｐ（÷，　７）且Ｐ点坐标也满足ｆ１’ｚｚ的方　２　解一设ｐ　设　［　・］＝［　・］＋Ａ　［　２］解得Ａ　＝÷，　［１。］＝［　・］＋Ａｚ［３－２］解得Ａ：＝・，所以ｃ　ｚ　＝　＝　．　，，，解二四直线与轴的交点顺次为Ａ（一　１Ｏ）、Ｂ（２Ｏ）、ｃ（Ｏ，Ｏ）、Ｄ（１Ｏ），　一　［１］张文贵．突出几何特点，改革高几教学［Ｊ］．数学教育学报，１９９５，４（４）：５４—５８．　［２］张定强．高等几何课程改革的实践与认识［Ｊ］．西北师范大学学报（自然科学版），１９９７，３３（２）：９３—９５．　［３］梅向明．高等几何［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００．　［４］梅向明，刘增贤．高等几何学习指导与习题选解［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　ａｎｄ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ａｄｖａｎｃｅｄ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｉｎ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｃｈｏｏｌ　ＨＵＡＮＧ　Ｚｈｅｎ。ｈｕａ　（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｈｕｂｅｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｃｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｓｈｉ　４３５００２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｓｔａｔｕｓ　ｏｆ　ａｄｖａｎｃｅｄ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｉｎ　ｃｏｕｉ￣ｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ｎｏｒｍａｌ　ｍａｔｈｓ　ｓｐｅｃｉａｌｔｙ．ａｎｄ　ｅｘｐｌｏｒｅ　ｔｈｅ　ｅｘ－　ｃｈａｎｇｅ　ｏｆ　ｔｈｏｕｇｈｔｓ　ａｎｄ　ｕｎｉｉｆｃａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ａｎｄ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｄｕｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｐｒａｃｔｉｃｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ａｄｖａｎｃｅｄ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ；ｔｈｏｕｇｈｔ　ａｂｉｌｉｙ；ｍａｔｔｈｓ　ｄｉａｔｈｅｓｉｓ　－１Ｏ３・