《命题研究 …。Ｍ＿｝ Ｙ Ｎ ｌ 一道选择压轴题的命制 姜兴国（山东省济南市历城区教学研究室） 摘要：压轴题是一份试卷的灵魂，借助母题（原 ｏ）交于点Ａ．型）进行改造和创新是试题命制的常用策略．文章展 四种基本形式，即呈现形式改造，知识点的融合创新 将直线ｙ： ｊ 示了一道选择压轴题的命制过程，体现了母题改造的 向右平移手个单位后，与双 改造，求解问题改造，解题方法策略改造． Ｉｔｔｔ￣ｙ＝ （ ＞０）交于点Ｂ， 关键词：反比例函数；压轴题；选择题；试题命制 与 轴交于点ｃ若 ＡＯ ： ，图１ ． 笔者曾参与了一道选择压轴题的命制工作，在此 ２，则ｋ＝ ２．初步改造 谈谈具体的命制历程和体会，以期与大家交流、研讨． 原题在陈述信息上突出平行线和函数图象，利用 一、立意与构想 三角形相似，借助反比例函数图象上点的坐标的特点 （若（ ，ｙ１），（ ， 在ｙ＝ 的图象上，则 ＝ ：＝ 命题组在商定命题双向细目表时达成共识，初中 函数知识具有较强的综合性和灵活性，能够很好地考 查数形结合、方程、函数等数学思想方法，确定在选 择题部分命制一道以反比例函数为载体的压轴题．主 要涉及方程、函数、图形与坐标、特殊四边形、全等 或相似等知识，要求突出综合性和灵活性，以考查思 维为主，避免偏、旧． ），构造方程求解．所涉及的知识基本符合考查方程、 函数、图形与坐标、全等或相似等知识的命题要求． 命题组决定对此题进行改造，依据不使用成题的命题 原则，首先对平行线这一直观图形进行改造，由平行 线联想到了构造平行四边形，初稿如下． 初稿：如图２，四边形ＯＡＢＣ是平行四边形，点Ａ 的坐标为Ａ（３，０），／ＣＯＡ＝４５ｏ，Ｄ为边ＡＢ的中点， 反比例函数Ｙ＝ （ ＞０）的图象经过Ｃ，Ｄ两点，则｜ｉ｝ 的值等于（ ）． 二、命制过程 １・原型（母题）选取 （Ａ） 基于对命题立意的深入思考，命题组查阅了大量 习题，确定以２００９年湖北省武汉市中考试卷第１６题 作为原型进行改造，原题如下． （Ｂ）２ （ｃ） 斗 原题：如图１，直线Ｙ＝ ４ 与双曲线Ｙ＝争（ ＞ 收稿日期：２０ｌ５—０６ｒ＿ ２ （Ｄ）４ 图２ 作者简介：姜兴国（１９７３一），男，中学高级教师，主要从事初中数学教育教学研究 州 律…甘 中国数 嫱囫 命题研究》 Ｍ Ｉ ｌＮ—ＩＩ … 初稿以反比例函数和平行四边形为背景，将条件 ＝ ， ＝由Ｄ为ＡＢ中点，易证ＣＤ＝ＤＦ． 由反比例函数图象的特定结论，得ＥＣ＝ＤＦ． 得ＥＣ＝ＣＤ＝ＤＦ． ２改为 ｃＤＡ＝４５。，Ｄ为边Ａ 的中 点．以选择题的形式呈现，从结构形式和数据信息两 方面进行初步改造．特殊角、平行四边形、中点等条 件的引人，使信息呈现更丰富，解题方法也更加灵活 多样，以下呈现了三种主要解题思路． 解：（方法１）如图３，过Ｃ，Ｄ两点分别作 轴的 由ＯＡ＝ＢＣ＝ＡＦ＝３，进而发现ＯＭ＝ＭＮ＝Ⅳ ＝ 争＝２． 所以点Ｄ的坐标为０（４，１）． 垂线，垂足分别为点 ，Ⅳ． 可知ＡＯＭＣ和ＡＡＮＤ都是等腰直角三角形，相似 比为２：１． 设ＡＮ＝ＤＮ＝ｍ， 则Ｃ（２ｍ，２ｍ），Ｄ（３＋ｍ，ｍ）． 由２ｍ・２ｍ＝（３＋ｍ）ｍ，得ｍ＝１． 所以ｋ＝４． 图３ 图４ （方法２）如图４，过 Ｃ作ｃ 上Ｄｙ，垂足为点 ， 过点Ｄ作ＤⅣ上 ，垂足为点Ⅳ，连接ＯＤ． 易知ＡＯＭＣ和ＡＡＮＤ都是等腰直角三角形，相似 比为２：１，面积比为４：１． 因为Ｓ△删＝Ｓａｏ删＝ ｌ＿ｋ， 所以｜ｓ△ ：Ｊｓ 删＝４：１． 则有ＯＡ＝３ＡＮ． 所以ＡＮ＝ＤＮ＝１． 所以点Ｄ的坐标为０（４，１）． 故ｋ＝４． （方法３）如图５，过ｃ，Ｄ两点分别作 轴的垂 线，垂足分别为点Ｍ，Ⅳ，过Ｃ，Ｄ两点的直线分别交 坐标轴于Ｅ，Ｆ两点． 图５ ２０１５年第１０期 故ｋ＝４． 命题组在对初稿的论证中意识到了一处明显不足， 呈现的图形规范、准确， ＡＯＣ＝４５。，学生容易联想 构造等腰直角三角形，ｋ的值恰为整数，部分学生可 能会借助测量工具直接’坝４量求解，难以达到压轴目的． ３．不断深化 命题组在研讨中对初稿进行了进一步改造，决定 将 ＡＯＣ改为６０。，在考查知识点不变的情况下可以 有效防止直接测量，提高试题的效度．研讨中同时提 出了新的问题，能否改造问题的问法，以进一步提升 题目的难度，达到压轴目的．基于以上思考，核心问 题是求ｋ值．能够解决Ｇ，Ｄ两点坐标问题，进而可求 出直线ＣＤ的解析式．在设计选项中的系数ｋ，ｂ的值 时遇到了困难，如何设计合理的干扰项，使之与正确 选项保持同等难度，同时具有良好的干扰作用．同时 考虑到求点Ｃ，Ｄ坐标的途径过于明显，决定将问题 再次修改．如图６，设计为求直线ＣＤ与Ｙ轴的交点Ｅ 的坐标．如此修改，隐去了求ｋ的值的问题，学生对 于问题解决的思考，还是甄别待定系数法求解析式， 还是借助图形关系侧重几何知识求解，题目难度逐步 攀升，初步实现压轴目的． 改编：如图６，四边形ＯＡＢＣ是平行四边形，点Ａ 的坐标为Ａ（３，０）， ＣＯＡ＝６０。，Ｄ为边ＡＢ的中 点，反比例函数Ｙ＝旦（ ＞０）的图象经过Ｃ，Ｄ两点， 直线ＣＤ与Ｙ轴相交于点Ｅ，则点Ｅ的坐标为（ ）． 图６ 《命题研究 …………………………………………………………………ＭＩＮＧＴＩＹＡＮＪＩＵ ……………………………● （Ａ）（０，２、／ ） （Ｃ）（０，５） （Ｂ）（０，３ （Ｄ）（Ｏ，６） ） 为常数，且ｋｓｏ）中ｋ的几何意义，即Ｓ矩脚胱＝ｌｋ ｌ， Ｉｓ ∞＝ １ Ｉｋ Ｉ（如图９），利用面积关系解题；三是利 二 在不断探究的过程中发现，如图７，在ＡＯ＝３的 条件下，ｋ值与厶４ＯＣ的大／Ｊ、存在函数关系．若ＬＣＯＡ＝ 结论ｋ＝４ｔａｎ ．进而思考，若ＡＯ的长度是一般值呢？ 用反比例函数图象中的特殊关系解题（如图１０，直线 ａ，由前面方法３可知，ＯＭ：２．则ＣＭ＝２ｔａｎ ０ｃ．得到 ＡＢ与反比例函数Ｙ＝ （后ｓｏ）交于Ｅ，Ｆ两点，交 轴 于点Ａ，交Ｙ轴于点Ｂ，则有ＡＥ＝ＢＦ）．同时，此题 随后设ＡＯ＝口，可求得ＯＦ＝２ａ，ＯＭ＝ 口，ＣＭ＝ 口・ 将几何知识与代数知识有机结合，涉及的知识点有函 Ｊ Ｊ ｔａｎ ，惊奇地发现结论ｋ：ａ－－－４ａ２ｔａｎ ０ｃ． １奎Ｉ ７ ４．辨析定稿 这一结论的发现，突出了变量关系的探索，与前 一稿具体数据的计算相比，思维水平更高，在压轴的 难度设计要求上是充分的，但考虑到学生的探究能力， 以及试题的效度，最后决定采取控制变量的措施降低 难度．设定ＡＯ＝３不变，设厶ｔＯＣ＝０１，让学生进行探 究，得到最后定稿． 定稿：如图８，ｔｚ３ＯＡＢＣ的顶点曰，ｃ在第一象限， 点Ａ的坐标为Ａ（３，０），Ｄ为边ＡＢ的中点，反比例 函数Ｙ＝ （ ＞０）的图象经过Ｃ，Ｄ两点，若ＬＣＯＡ＝ Ｏｔ，则ｋ的值等于（ ）． （Ａ）８ｓｉｎ２ａ （Ｂ）８ｃｏｓｔａ （Ｃ）４ｔａｎ ０ｃ （Ｄ）２ｔａｎ 此题作为选择压轴题，经过不断改造，呈现形式 逐步丰满，解题方法灵活多样（初稿的三种解题方法 依然适用），突出了反比例函数性质应用的三大技巧： 一是关注反比例函数图象上点的坐标的特点，利用ｘｌｙ。＝ ｘ２ｙ２＝ｋ构造方程求解；二是关注反比例函数ｙ＝ 数的图象与性质，平行四边形的性质，三角形全等和 相似，三角函数，图形与坐标等，有效地考查了数形 结合、方程、构造法等思想方法，对解题能力提出 了较高的要求，对教师的教学也具有一定的指导 意义． ，Ｊ Ａ ｌ Ｃ ／ Ｄ 图９ 图１０ 三、结束语 对母题进行改造是命题常用的策略之一．此题在 原型题目以平行线、线段比例关系、函数图象为主要 呈现信息的基础上，改造为函数图象、平行四边形、 中点为主要知识载体，信息呈现更加丰富，有利于多 角度激发学生的思维．改造过程既关注了知识的融合 创新，又注重了解题策略、方法的多样性，试题的命 制过程体现了母题改造的四种主要形式，即呈现形式 改造，知识点的融合创新改造，求解问题改造，解题 方法策略改造． 参考文献： ［１］胡鹏程．２０１３年福州卷第２１题的命制与感 悟［Ｊ］．中学数学教学参考（中旬），２０１４（８）： ４９－５１． ［２］曹经富，刘晖．例析二次函数变量系数的命 题研究与拓展ＥＪ］．中国数学教育（初中版）， ２０１４（７，８）：１１８—１２３． ２０１５年第 ０期
