把握教学重难点．恰当使用直观模型——“除数是两位数的除法调商”引起的思考

除法调商”引起的思考

刘晓婷

【摘 要】抽象性是数学的主要特征之一，在数学教学中教师常提供学具或直观图帮助学生理解抽象的学习内容。近年，在小学计算教学中使用学具或直观图逐渐受到教师的重视。

【期刊名称】《小学教学：数学版》 【年(卷),期】2014(000)001 【总页数】4页(P47-50)

【关键词】教学重难点;两位数;除法;除数;模型;数学教学;学习内容;计算教学 【作 者】刘晓婷

【作者单位】北京教育学院 【正文语种】中 文 【中图分类】G632.3

抽象性是数学的主要特征之一，在数学教学中教师常提供学具或直观图帮助学生理解抽象的学习内容。近年，在小学计算教学中使用学具或直观图逐渐受到教师的重视。

学具、直观图又称为直观模型，指的是“具有一定结构的操作材料和直观图形，如小棒、计数器、长方形或圆形图、数直线”，“在计算教学中，它是帮助学生理解

算理的一种重要方式”[1]。教材、教学中出现的直观模型，从形式上看，可以是具体的、能拿在手里直接操作的学具（材料），如小棒、第纳斯木块、计数器等；也可以是画在纸上的学具（材料）图，如小棒图、方格图、点子图等；或者是数轴，学生能在上面圈画；还可以是呈现在屏幕上的学具（材料）图。

那么，如何用好直观模型？“除数是两位数的除法调商”一课的案例引发了笔者的思考。

“除数是两位数的除法调商”一课，教师想使用直观图帮助学生理解“试”和“调”的过程，设计了三个情境，并做了教学尝试。

情境1：现有271支铅笔，平均分给同学们，每位同学分得34支，可以分给几位同学？还余下多少支铅笔？

师：每人分得34支，从哪儿开始分？竖式从哪一位开始除起？ 生：从整百支的两捆开始分，从百位开始除起。 师追问：如果不拆开捆，能分出34吗？怎么分？

学生很快判断出不能分，还要拆。教师课件演示把整百支的捆打开，变成十支一捆的20小捆，添上原来的7小捆，得到27小捆。拆完后还是不能分，还需要再把十支一捆的再拆开，变成271个一。而后进入到估除数试商的追问。 师：271个一里面能分出34吗？你想怎么分？ 生：把34估成30，看271里面有几个30。

师：想“30×（ ）≤271”，结合图示思考。猜一猜商是几。

学生给出试商的答案：9。课件出示30支一堆，271支铅笔分成9份，还剩1支。但回到原式：34×9=306（支），大于被除数271，商9不合适了，应该怎么办？接着教师引导学生尝试调商。 师：估得没错啊！为什么事与愿违？

生：把除数估小了，被除数不变，商就大了，大到使除数与商的乘积超过被除数了。

师：那么，怎么办？ 生：要往小调商，调成8。

师：为什么往小调而不往大调商啊？

生：都是和除数相乘，商如果更大，乘积会更大。商小了，和除数的乘积才会小一些。 ……

学生把商调成“8”后得出：34×8=272，还是超过了被除数。课件出示圈成8份，一共272支，比原来的271支多出1支。之后，再往小调，调成7，结果剩下的33比34少，不够再分，出示得数。

接着，“五入法试商、调商”也用同样的方法来教学，最后总结出调商规律。直观图加上声音效果，声情并茂，教师的提问具体、详细，学生的回答流利、准确。但是，课后研讨时参加讨论的教师都认为直观图在本课的价值值得商榷，教学的整体结构要调整，动画效果要删除。直观图是教师辛辛苦苦做出来的，怎么就不合适了？教师很困惑。

通过直观图帮助学生理解调商道理的做法为什么会被否决呢？结合本节课的教学内容，思考如下问题：

第一，调商的教学重点是什么？突出重点是否需要借助直观图？ 第二，学生学习调商时的困难是什么？突破难点是否必须使用直观图？ 第三，计算教学如何用好直观模型？

针对上述问题，下面结合文献资料及有关教学案例做出分析。 （一）准确把握教学重点，慎重选择直观学具。

试商和调商是一般除法竖式计算中求商的两个重要环节。北京版教材在“除数是两位数的除法”部分共有5道例题，其中例4“四舍五入法”把除数估成整十数试商，例5“五入法”把除数估成整十数试商后所得的余数等于被除数，需要调商。两道

例题两课时，前一课时重点是“四舍五入法”估除数，按照除数是整十数的方法求商，一次试商就能成功。后一课时重点是试商后出现偏差，商不合适了需要调整；调整一次不合适，就要再次调，直到满足要求。教材在这两道例题中都没有出示直观模型。

除法教学大量使用直观模型是在教学两位数除以一位数时，即学生建立除法竖式结构之时（如图4所示为人教版教材）。北京版教材在三位数除以一位数教材中呈现了直观模型小棒图。在除数是整十数的除法中，为了再次帮助学生理解除的过程，理解商的位值含义，教师也会使用直观模型。

“四舍五入法”试商的教学，有了除法竖式计算的经验，直观模型一般都不再使用。而到“调商”，更重要的是让学生经历“估”“试”“调”的完整过程，自主探索竖式计算中为什么要调商，怎么调，在观察、对比、分析、归纳中发现、总结调商规律。学生在经历除法竖式除下来的过程中，逐渐形成对数之间相对大小关系的感知。案例中结合直观模型讨论“每人分得34支，从哪一位开始分？能不能分？怎么办”等问题不是本节课的重点，直观模型的使用有喧宾夺主之嫌。 （二）正确诊断学生的学习困难，恰当应用直观模型。

教学中是否需要使用直观模型要看学生的需求，需求往往出现在理解抽象内容产生困难之际，这正是教学的难点。例如，一节小数除法课，教师通过调研学情认识到：小数点点在哪儿，什么时候点小数点是本节课学生学习的难点，特别是，除完第一步后小数点要不要落下来，孩子对此往往模棱两可。教学中学生自由探索算法后，写出了如图5所示的两个竖式：

教师对左边的算式肯定并板演后，留出时间让学生质疑，学生提出：“‘12’中间为什么不用写小数点？”短暂讨论后，引导学生思考：“1.2表示什么意思？”并要求学生用方格图表示1.2（图6①）。有了直观模型的支撑，学生根据平均分的经验，很快认识到1.2中的“1”不能直接平均分成3份，需要把“1”变成10

个0.1，这样1.2就是12个0.1（图6②），平均分的是12个0.1，得到3个0.4（图6③），从而理解了“12”中间为什么不用点小数点。

上述教学环节，直观模型方格图在整节课中并不是很突出，但是，它出现的时机恰到好处，有效帮助学生突破了“到底写12还是1.2”的难点。

那么，“除数是两位数的除法调商”学习中学生的困难是什么？是否需要借助直观模型呢？试讲后，教师在另一个班利用下面的题尝试做了学前调研：“19位退休教师相约到太湖游玩，买游艇票一共花了722元。每张游艇票多少元？” 本题商是两位数，需用“五入”法估除数，个位试商后需要往大调商，有些难度。在对四年级另外一个班32名学生进行调研时，让学生作答时保留试商、调商痕迹，之后又做了个别访谈，了解错因。发现有6名学生出错，其中主要的错误是个位商7，余数也是19。经访谈，4人没有看到余数和除数相等，所以没有调商；1人看到余数和除数相等了，但不知怎么处理；只有1人把3写在百位上，对商的位值含义理解不清。

调研结果表明，学生对竖式每步计算的道理已经有了较好的理解（只有1人把商的首位写错位置），学生的主要困难是为什么调商和怎么调。这两个问题通过学生小组讨论、观察竖式思考就可以解决。

在修改后的教学中教师出示两道“四舍法调商”和一道“五入法调商”题，由学生完成，要求书写时用签字笔，错了用笔轻轻画去，留下修改痕迹。思考求商过程后，小组内交流，最后全班交流、总结调商规律。试讲时，学生完成计算过程中安静思考，交流时积极活跃，难点随之攻破。（图7为学生完成的求商作品）

数学教学“应从思维的整体性出发”[2]。案例中直观模型对于突破学生的困难不是必需的，同时，在计算过程中分解得过细的提问，如：“271个一里面能分出34吗？你想怎么分？”“想30×（ ）≤271，结合图示思考，猜猜商是

几。”“估得没错啊！为什么事与愿违？”这些问题肢解了求商的完整过程，替代了学生的主动思考和质疑，大量的直观模型干扰了学生根据数字的特点对计算过程的深入思考，对调商规律的发现、总结起不到支撑作用。 （三）用好直观模型，教学手段为教学内容服务。

教学中，判断是否需要使用直观模型应当基于“准确把握教学重点，正确诊断教学难点”。要想用好直观模型，还需要深入理解模型的特征，追问使用模型的价值。 1.理解模型特征，辨析模型差别。

直观模型作为“具有一定结构的操作材料和直观材料”，具有齐性、结构化的特征。齐性是指模型的物理属性（形状、大小等）相同，结构化指模型具有逻辑结构。[3]例如小棒，每一根小棒都相同，单根小棒和捆成小捆（10根）的小棒之间具有明显的十进关系。但是，尽管都是齐性、结构化的材料，各种直观模型之间还是有很多不同。

例如，北师大版教材二年级下册“加减法（一）”中，教材出示了两幅直观图（如图8），分别涉及第纳斯木块和计数器两种学具。教学时教师让学生用计数器演示“112+129是怎么算的”，发现学生在计数器上拨出112后就没办法拨129了。计数器每个数位上只有10个珠子，个位上已经拨了2个，还要拨9个，怎么拨？想要完成计算只能先心里算出9+2=11，再从个位上拨走1个，暗暗计算十位上1+3=4后，在原来有1个的基础上再拨下3个珠子……原本想用计数器帮助学生直观理解竖式计算中“为什么‘满十进一’”“‘1’要进到哪儿”，却变成了抽象的“心算”。

但是，在实际操作中换成第纳斯木块，情况就不一样了！例如“112+129”，112中的2个小方块和129中的9个小方块合起来是11个小方块；能够重新组合成1个“十”，还剩1个小方块；接着这个新“十”加原来112中的1个“十”和129中的2个“十”，得到4个“十”；最后把2个“百”加起来，得到241。

在操作小方块的过程中适当追问就能帮助学生理解相同数位才能相加减以及“满十进一”的道理。

教材出示“计数器”没有错，在图片中可以把要拨的珠子画出来，和真实的操作不同。计数器与第纳斯木块（小棒）相比十进关系要抽象些，但由于有数位顺序，用来表现相同数位相加减更直观，解决不需要进位或退位的计算没有问题，但遇到进位和退位就麻烦了。

直观模型的使用作为一种教学手段（某种物体、工具[4]）对小学数学教学的确具有重要性，但选择什么直观模型一定要结合具体的教学内容，并深入考察具体直观模型自身的独特结构。

2.追问使用模型的价值，让教学活动更具实效。

在计算教学中使用直观模型，经常会被冠之以“通过操作学具帮助学生理解算理”的作用。但是，操作直观模型能等同于理解算理吗？回顾操作模型的过程不难发现，操作模型探寻的是一种具体的“算法”，是内隐的计算思维过程的外化，每种正确的操作方法对应着一种具体的计算方法。例如，对于“19+18”，学生使用小棒操作，先把两个整捆（每捆10根）放到一起，再把9根小棒和8根小棒放一起，得到1个整捆零7根，最后把所有小棒合在一起得到37，对应的算法是：10+10=20，9+8=17,20+17=37。还有的学生从“18”里抽出一根小棒，和19合在一起，凑成两个整捆，再加上剩下的17，得到37，此时对应的算法是19+1=20，20+17=37。两种算法都有20+17=37，结果一致，但思维过程是不同的。

实际上，对“为什么这么操作，操作的每一步可以解释算式中的哪一步”的思考才是在理解算理。操作直观模型很重要，但操作直观模型本身不等同于理解算理，理解算理也不是必须借助直观模型。作为教师需要对模型及操作模型的意图有清晰认识，需要认真思考为什么要使用模型、使用哪种模型、为了达到什么目的，并反复

斟酌。三教授指出：“（教学中的直观性原则）是根据具体的教学目的，选择、制作多种多样的典型化的直观教具，由语言加以指导、概括和说明，与启发学生的积极思考结合起来，注意发展学生的观察力和形象思维，并帮助学生实现从具体思维向抽象思维的过渡。”[5]因而，倘若真是为了理解算理，教师有目的的指导以及对学生放手操作后的追问就非常重要。

由于数学的抽象性，教师有意识地使用直观模型帮助学生增强理解值得肯定，但还要认识到：诉诸直观不能让学生的思维水平总是停留在直观，必要的抽象、推理是学生数学学习的重要方面。教学不能秉着拿来主义思想，追根溯源和打破砂锅问到底的精神值得提倡，在计算教学中如何使用好直观模型需要认真思考。

【相关文献】

[1]张丹.例谈直观模型在计算教学中的作用[J].小学教学（数学版），2010（07-08）：9-11. [2]林崇德.智力发展与数学学习[M].北京：中国轻工业出版社，2011.103，1.

[3]（荷兰）弗赖登塔尔，作为教育任务的数学[M].陈昌平译.上海：上海教育出版社，1995.193，194.

[4][5]三.教学论稿[M].北京：人民教育出版社，2005.253，157.

（本文是全国教育科学规划2010年度中小学数学教育专项重点课题“基于pck的中小学数学教师专业发展研究”阶段性成果之一，课题批准号：GOA107021，课题负责人：刘加霞）