南通市天星湖中学2020-2021年高二上学期月考数学试卷(22日)含答案

江苏省南通市天星湖高二数学月考试题12月22日

一、选择题（本大题共8小题，共40．0分）

1．在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则2a10a12的值为（ ）

A．20

B．22

C．24

D．26

2．在公比为q的正项等比数列an中，a44，则当2a2a6取得最小值时，log2q（ ）

A．

1 4B．1 4C．

1 8D．

183．当动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围（ ）

A．, 64B．, 63C．, 43D．, 32x2y24．已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且

abPF14PF2，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．,2 3

5

B．1,

35C．(1,2]

D．,

535．已知等比数列an中，a3，a7为方程x26x80的两根，则

a2a8（ ） a5D．4或4

A．22 2B．4

C．22或22 6．已知抛物线y4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x3y110的距离为d2，则d1d2的最小值为（ ）

A．3

B．4

C．5 D．7

7．若直线yaxba0与曲线fxlnx1相切，则lna22b的值为（ ）

A．4 8．已知f(x)

A．

B．

1 4C．4 D．2

2若等比数列an满足a1a20201，则fa1fa2fa2020（ ） (xR)，

1x2B．1010

C．2019

D．2020

2019 2二、不定项选择题（本大题共4小题，共16．0分）

9．已知函数f(x)及其导函数f(x)，若存在x0使得fx0fx0，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下

列选项中有“巧值点”的函数是（ ）

A．f(x)x

2B．f(x)e

xC．f(x)lnx D．f(x)tanx

10．下列说法正确的是（ ）

A．x1的最小值为2 xB．若“xm”是“x2019”或“x2020”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2019 C．设p:1x2，q:2x1，则p是q成立的必要不充分条件 D．x27最小值为272 2x211．已知A，B两点的坐标分别是(1,0)，(1,0)，直线AP．BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，

则下列结论正确的是（ ）

A．当m1时，点P的轨迹圆（除去与x轴的交点）

B．当1m0时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点） C．当0m1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线

D．当m1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）

12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从

第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是（ ）

A．a68

B．S954

22a12a2a2019D．a2020

a2019

C．a1a3a5a2019a2020

三、填空题（本大题共4小题，共20．0分）

13．抛物线y4x的焦点坐标为______，准线方程为______．

14．设命题p:1x2；命题q:xax10，若P是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围

是______．

2x2y2x2y215．已知椭圆221(ab0)，与双曲线221(m0,n0)具有相同焦点F1、F2，且在第

abmne2，一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、若F1PF2322，则e1e2的最小值是______．

16．已知点P在曲线y4上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围为______． ex1四、解答题（本大题共6小题，共72．0分）

17．四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为菱形，ADC60，PAAD2，E

为AD的中点．

（1）求证：平面PCE平面PAD； （2）求PC与平面PAD所成的角的正切值； （3）求二面角APDC的正弦值．

x2y2318．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．

2ab（1）求椭圆C的方程； （2）设直线l:y1xm交椭圆C于A，B两点，且|AB|5，求m的值． 2219．已知函数f(x)x(xa)．

（1）当x(0,1)时，函数f(x)的图像上任意一点处的切线斜率为k，若k1，求实数a的取值范围； （2）若a2，求曲线yf(x)过点Q(1,f(1))的切线方程．

20．经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数

关系：y900v(v0)．

v25v1000（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？

（2）为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 21．已知各项均不为零的数列an中，a11且满足anan1anan1． （Ⅰ）证明：数列1是等差数列； an1． 2（Ⅱ）设bna2n1a2n1，数列bn的前n项和Tn，证明：Tn

x2y2522．已知椭圆 E:221(ab0)的离心率为，过点P(0,1)作斜率为k的直线l与椭圆E交于A，

3abB两点，当直线l垂直于y轴时，AB33． （1）求椭圆E的方程；

（2）当k变化时，在x轴上是否存在点M(m,0)，使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求

出m的取值范围，若不存在说明理由．

月考试题

一、选择题 1-8CACBA ACD

二、不定项选择题（本大题共4小题，共16．0分） 9．AC 10．ABD

11．BCD

三、填空题 13．a2

14．0,116；y116 15．

2332 16．4, 四、解答题（本大题共6小题，共72．0分） 17．【答案】

（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以DADC．

又ADC60，

所以△ADC为等边三角形，即有CACD，

又在△ADC中，因为E是AD中点，所以CEAD． 因为PA平面ABCD，CE平面ABCD， 所以CEPA． 又PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD

，

所以EC平面PAD， 又CE平面PCE， 所以平面PCE平面PAD．

（2）解：因为EC平面PAD，所以斜线PC在平面内的射影为PE，

．ACD

12

即CPE为PC与平面PAD所成的角的平面角，

因为PA平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAD， 在Rt△PAE中，PEPA2AE25，

22在Rt△CED中，CECDED3．

因为EC平面PAD，PE平面PAD，所以ECPE， 在Rt△CEP中，有tanCPECE15， PE5（3）解：在平面PAD中，过E点作EMPD，垂足为M，连接CM，

因为EC平面PAD，PD平面PAD，所以ECPD， 又EMCMM，EM平面EMC，CM平面EMC，

所以PD平面EMC，

又CM平面EMC，所以PDCM， 即EMC为二而角APDC的平面角， 在Rt△EMD中，ED1，ADP45， 所以EMMD2， 22，CD2， 214， 2在Rt△CMD中，MD22所以CMCDMD在△EMC中，EC3，

173MEMCEC122由余弦定理cosEMC，

2MEMC2147222222所以二面角APDC的正弦值为18．【答案】

42． 7a2b2c222解：（1）由题意可得c， 32a

解得：a2，b1，

x2y21； ∴椭圆C的方程为4（2）设Ax1,y1，Bx2,y2．

1yxm联立， 222x4y4得x22mx2m220， ∴x1x22m，x1x22m22

22∴|AB|1kx1x21kx1x224x1x254m28m28 252m25，

解得m1．

19．解：（1）y900v900 v25v1000v10005v∵v100010002v2010， vv900900180， 1000v5201054101v1000当且仅当v，即v1010时等号成立，

v∴y∴当汽车的平均速度v1010千米/小时时车流量y最大． （2）令

900v12，则可化为v270v10000， 2v5v1000即(v20)(v50)0，解得20v50，

∴当汽车的平均速度应控制在20千米/小时到50千米/小时范围内．

20．解：（Ⅰ）求导函数可得f(x)3x2axb，

∵f(x)的图象与直线15xy280相切于点(2,2)， ∴f(2)2，f(2)15

2

∴84a2b2，

124ab15∴a3，b9．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)3x6x9，

令f(x)0，可得3x26x90， ∴3x1，

函数f(x)的单调递减区间是(3,1)． 令f(x)0，可得3x26x90， 单调增区间为：(,3)，(1,)．

综上：函数f(x)的单调递减区间是(3,1)，单调增区间为：(,3)，(1,)．

21．证明：（Ⅰ）因为anan1anan1，且各项均不为零，a11，

则有：

2111， an1an以1首项为1，公差为1的等差数列； an11(n1)1n， an（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

所以bn1111，

(2n1)(2n1)22n12n1则Tn11111111111． 23352n12n122n1222．解：（1）由过点P(0,1)的直线l垂直于y轴时AB33知椭圆过点33，

2,12712214ab5222又离心率为，所以abc，

3c53a解得a29，b24，

x2y21． 故椭圆方程为94（2）由题意知l:ykx1，

设Ax1,y1，Bx2,y2，AB的中点Cx0,y0，

ykx1由x2y2，消去y得49k2x218kx270，

14918k27，， xx122249k49kxx29k4所以x01，， ykx100249k249k2x1x2当k0时，设过点C且与l垂直的直线方程y19k4， x22k49k49k将M(m,0)代入得：m549kk，

429k12，当且仅当k到时等号成立， k342若k0则9k12，当且仅当k时等号成立，

k355所以m0或0m，

1212若k0，则

当k0时，m0，

综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是

55m． 1212